ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 654

**1)** $x^5 > -32$ Функция $y = x^5$ определена на всей числовой прямой и является строго возрастающей. Представим правую часть в виде пятой степени: $$-32 = (-2)^5$$ Следовательно: $$x^5 > (-2)^5 \iff x > -2$$ **Ответ:** $x > -2$ (или $x \in (-2; +\infty)$). --- **2)** $x^7 < 128$ Функция $y = x^7$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Представим число $128$ в виде степени: $$128 = 2^7$$ Следовательно: $$x^7 < 2^7 \iff x < 2$$ **Ответ:** $x < 2$ (или $x \in (-\infty; 2)$). --- **3)** $x^4 > 81$ Перенесём слагаемое в левую часть и разложим на множители по формуле разности квадратов: $$x^4 - 81 > 0$$ $$(x^2 - 9)(x^2 + 9) > 0$$ Так как $x^2 + 9 > 0$ при любом действительном значении $x$, разделим обе части неравенства на $(x^2 + 9)$: $$x^2 - 9 > 0$$ $$(x - 3)(x + 3) > 0$$ Решая методом интервалов, получаем: $$x < -3 \quad \text{или} \quad x > 3$$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. --- **4)** $x^6 < 64$ Перенесём слагаемое влево и применим формулу разности квадратов: $$x^6 - 64 < 0$$ $$(x^3 - 8)(x^3 + 8) < 0$$ Разложим разность и сумму кубов: $$(x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4) < 0$$ Квадратные трёхчлены $x^2 + 2x + 4$ и $x^2 - 2x + 4$ строго положительны при всех $x$ (дискриминант каждого $D < 0$, а старший коэффициент $1 > 0$). Разделив на них, получим равносильное неравенство: $$(x - 2)(x + 2) < 0$$ $$x^2 < 4$$ $$-2 < x < 2$$ **Ответ:** $-2 < x < 2$ (или $x \in (-2; 2)$). --- **5)** $x^{-3} > 27$ По определению степени с отрицательным показателем: $$\frac{1}{x^3} > 27$$ Область допустимых значений: $x \neq 0$. Так как правая часть положительна ($27 > 0$), левая часть также должна быть положительной, откуда $x^3 > 0$, то есть $x > 0$. При $x > 0$ функция $y = \frac{1}{x^3}$ является строго убывающей. Представим правую часть в виде степени: $$\frac{1}{x^3} > \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^3}$$ Так как при $x > 0$ обе части положительны, перейдём к взаимно обратным величинам, изменив знак неравенства: $$x^3 < \frac{1}{27}$$ $$x^3 < \left(\frac{1}{3}\right)^3 \iff x < \frac{1}{3}$$ С учётом условия $x > 0$, получаем: $$0 < x < \frac{1}{3}$$ **Ответ:** $0 < x < \frac{1}{3}$ (или $x \in \left(0; \frac{1}{3}\right)$). --- **6)** $x^{-5} < -1$ Запишем выражение в виде дроби: $$\frac{1}{x^5} < -1$$ Область допустимых значений: $x \neq 0$. Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{1}{x^5} + 1 < 0$$ $$\frac{1 + x^5}{x^5} < 0$$ Разложим числитель по формуле суммы пятых степеней: $$\frac{(x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)}{x^5} < 0$$ Многочлен $x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 > 0$ при всех $x$. Знак дроби зависит только от множителей $(x + 1)$ и $x^5$, причём $x^5$ имеет тот же знак, что и $x$: $$\frac{x + 1}{x} < 0$$ Применяя метод интервалов, получаем: $$-1 < x < 0$$ **Ответ:** $-1 < x < 0$ (или $x \in (-1; 0)$). --- **7)** $x^{-8} > 1$ Запишем в виде дроби: $$\frac{1}{x^8} > 1$$ Область допустимых значений: $x \neq 0$. Так как $x^8 > 0$ при любом $x \neq 0$, умножим обе части неравенства на $x^8$: $$1 > x^8 \iff x^8 < 1$$ $$x^8 - 1 < 0$$ $$(x^4 - 1)(x^4 + 1) < 0$$ Так как $x^4 + 1 > 0$ при любых $x$, разделим на него: $$x^4 - 1 < 0$$ $$(x^2 - 1)(x^2 + 1) < 0$$ Аналогично, разделив на $x^2 + 1 > 0$, получим: $$x^2 - 1 < 0$$ $$(x - 1)(x + 1) < 0 \iff -1 < x < 1$$ Исключая точку $x = 0$ из области допустимых значений, находим решение: $$-1 < x < 0 \quad \text{или} \quad 0 < x < 1$$ **Ответ:** $x \in (-1; 0) \cup (0; 1)$. --- **8)** $x^{-10} < 1$ Запишем в виде дроби: $$\frac{1}{x^{10}} < 1$$ Область допустимых значений: $x \neq 0$. Так как $x^{10} > 0$ при всех $x \neq 0$, умножим обе части неравенства на $x^{10}$: $$1 < x^{10} \iff x^{10} > 1$$ $$x^{10} - 1 > 0$$ $$(x^5 - 1)(x^5 + 1) > 0$$ Корнями левой части являются $x = 1$ и $x = -1$. Функция $y = x^{10}$ — чётная, на промежутке $[0; +\infty)$ строго возрастает. Следовательно: $$x^2 > 1 \iff x < -1 \quad \text{или} \quad x > 1$$ Все полученные значения входят в ОДЗ ($x \neq 0$). **Ответ:** $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.