ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 561

Пусть искомые три числа образуют геометрическую прогрессию: $b_1 = b$, $b_2 = bq$, $b_3 = bq^2$, где $q$ — знаменатель прогрессии. По условию задачи, сумма этих чисел равна $78$: $$ b + bq + bq^2 = 78 $$ $$ b(1 + q + q^2) = 78 $$ Эти же числа являются первым, третьим и девятым членами некоторой арифметической прогрессии $(a_n)$ с разностью $d$: $a_1 = b$ $a_3 = a_1 + 2d = b + 2d = bq$ $a_9 = a_1 + 8d = b + 8d = bq^2$ Выразим величины $2d$ и $8d$: $$ 2d = bq - b = b(q - 1) $$ $$ 8d = bq^2 - b = b(q^2 - 1) $$ Поскольку $8d = 4 \cdot (2d)$, составим уравнение: $$ b(q^2 - 1) = 4b(q - 1) $$ Так как сумма чисел равна $78$, число $b \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $b$: $$ q^2 - 1 = 4(q - 1) $$ Применим формулу разности квадратов: $$ (q - 1)(q + 1) - 4(q - 1) = 0 $$ $$ (q - 1)(q + 1 - 4) = 0 $$ $$ (q - 1)(q - 3) = 0 $$ Отсюда получаем два возможных значения знаменателя геометрической прогрессии: $q_1 = 1$ или $q_2 = 3$. Рассмотрим каждый случай: 1. Если $q = 1$: $$ b(1 + 1 + 1^2) = 78 $$ $$ 3b = 78 $$ $$ b = 26 $$ Тогда искомые числа: $$ b_1 = 26, \quad b_2 = 26, \quad b_3 = 26 $$ (В арифметической прогрессии разность $d = 0$, и члены $a_1 = a_3 = a_9 = 26$). 2. Если $q = 3$: $$ b(1 + 3 + 3^2) = 78 $$ $$ 13b = 78 $$ $$ b = 6 $$ Тогда искомые числа: $$ b_1 = 6, \quad b_2 = 6 \cdot 3 = 18, \quad b_3 = 18 \cdot 3 = 54 $$ (В арифметической прогрессии разность $d = \frac{18 - 6}{2} = 6$, тогда $a_9 = 6 + 8 \cdot 6 = 54$). Ответ: $26, 26, 26$ или $6, 18, 54$.