ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 560

Пусть искомые четыре числа равны $a$, $b$, $c$, $d$. Запишем условия задачи в виде математических соотношений: 1. По условию пункта **а**: - сумма первого и четвёртого чисел равна $11$: $a + d = 11$; - сумма второго и третьего равна $2$: $b + c = 2$. 2. По условию пункта **б**, числа $a$, $b$, $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. По характеристическому свойству арифметической прогрессии: $$ 2b = a + c $$ 3. По условию пункта **в**, числа $b$, $c$, $d$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. По характеристическому свойству геометрической прогрессии: $$ c^2 = b \cdot d $$ Выразим все неизвестные через $c$: Из уравнения $b + c = 2$: $$ b = 2 - c $$ Из свойства арифметической прогрессии выразим $a$: $$ a = 2b - c = 2(2 - c) - c = 4 - 2c - c = 4 - 3c $$ Из уравнения $a + d = 11$ выразим $d$: $$ d = 11 - a = 11 - (4 - 3c) = 7 + 3c $$ Подставим полученные выражения для $b$ и $d$ в равенство геометрической прогрессии $c^2 = b \cdot d$: $$ c^2 = (2 - c)(7 + 3c) $$ Раскроем скобки в правой части уравнения: $$ c^2 = 14 + 6c - 7c - 3c^2 $$ $$ c^2 = 14 - c - 3c^2 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 4c^2 + c - 14 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225 = 15^2 $$ $$ c_1 = \frac{-1 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2 $$ $$ c_2 = \frac{-1 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1{,}75 $$ Рассмотрим оба возможных случая: **Случай 1:** $c = -2$ - $b = 2 - (-2) = 4$ - $a = 4 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$ - $d = 7 + 3 \cdot (-2) = 7 - 6 = 1$ Получаем числа: $10;\; 4;\; -2;\; 1$. *Проверка:* - $10 + 1 = 11$ и $4 + (-2) = 2$ — верно; - $10;\; 4;\; -2$ — арифметическая прогрессия с разностью $d = -6$ — верно; - $4;\; -2;\; 1$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q = -0{,}5$ — верно. **Случай 2:** $c = \frac{7}{4} = 1{,}75$ - $b = 2 - 1{,}75 = 0{,}25 = \frac{1}{4}$ - $a = 4 - 3 \cdot 1{,}75 = 4 - 5{,}25 = -1{,}25 = -\frac{5}{4}$ - $d = 7 + 3 \cdot 1{,}75 = 7 + 5{,}25 = 12{,}25 = \frac{49}{4}$ Получаем числа: $-1{,}25;\; 0{,}25;\; 1{,}75;\; 12{,}25$ (или $-\frac{5}{4};\; \frac{1}{4};\; \frac{7}{4};\; \frac{49}{4}$). *Проверка:* - $-1{,}25 + 12{,}25 = 11$ и $0{,}25 + 1{,}75 = 2$ — верно; - $-1{,}25;\; 0{,}25;\; 1{,}75$ — арифметическая прогрессия с разностью $d = 1{,}5$ — верно; - $0{,}25;\; 1{,}75;\; 12{,}25$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 7$ — верно. Ответ: $10;\; 4;\; -2;\; 1$ или $-1{,}25;\; 0{,}25;\; 1{,}75;\; 12{,}25$ (также можно записать как $-\frac{5}{4};\; \frac{1}{4};\; \frac{7}{4};\; \frac{49}{4}$).