ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 558

**1)** Упростим выражение по действиям: 1. Преобразуем выражение во второй скобке: $$\sqrt[3]{a\sqrt{a}} = \sqrt[3]{a \cdot a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}}} = \left(a^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$$ Тогда: $$(\sqrt[3]{a\sqrt{a}} - 1)^2 = (\sqrt{a} - 1)^2 = a - 2\sqrt{a} + 1$$ 2. Преобразуем выражение в третьей скобке: Представим корни в виде степеней с дробными показателями: $$\sqrt[6]{ab^2} = a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{3}}$$ $$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{6}}a^{\frac{1}{3}}$$ Вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{6}}$ в числителе дроби: $$\frac{\sqrt[6]{ab^2} + \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \frac{a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}}a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{a}$$ Тогда всё выражение в скобках равно: $$\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{a} = 2\sqrt[6]{a}$$ Возведем полученное выражение в куб: $$(2\sqrt[6]{a})^3 = 2^3 \cdot \left(a^{\frac{1}{6}}\right)^3 = 8a^{\frac{3}{6}} = 8a^{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{a}$$ 3. Подставим результаты в выражение внутри внешних скобок: $$4(a + 1) + (\sqrt{a} - 1)^2 - 8\sqrt{a} = 4a + 4 + a - 2\sqrt{a} + 1 - 8\sqrt{a} = 5a - 10\sqrt{a} + 5$$ Вынесем $5$ за скобки и выделим полный квадрат: $$5(a - 2\sqrt{a} + 1) = 5(\sqrt{a} - 1)^2$$ 4. Возведем полученное выражение в степень $\frac{1}{2}$ (извлечем квадратный корень) и умножим на $\frac{1}{\sqrt{5}}$: $$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left(5(\sqrt{a} - 1)^2\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{(\sqrt{a} - 1)^2} = |\sqrt{a} - 1|$$ Так как по условию $0 < a \leqslant 1$, то $0 < \sqrt{a} \leqslant 1$, следовательно, $\sqrt{a} - 1 \leqslant 0$. Раскрываем модуль с противоположным знаком: $$|\sqrt{a} - 1| = -(\sqrt{a} - 1) = 1 - \sqrt{a}$$ Ответ: $1 - \sqrt{a}$. --- **2)** 1. Вынесем общий множитель $a^{-2}b^{-2}$ в числителе и знаменателе дроби: В числителе: $$a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1} = a^{-2}b^{-2} \left(a^{-1 - (-2)} - b^{-1 - (-2)}\right) = a^{-2}b^{-2}(a - b)$$ В знаменателе: $$a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{-\frac{5}{3}}a^{-2} = a^{-2}b^{-2} \left(a^{-\frac{5}{3} - (-2)} - b^{-\frac{5}{3} - (-2)}\right) = a^{-2}b^{-2}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)$$ 2. Сократим дробь на $a^{-2}b^{-2}$: $$\frac{a^{-2}b^{-2}(a - b)}{a^{-2}b^{-2}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)} = \frac{a - b}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}$$ 3. Разложим числитель по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = a^{\frac{1}{3}}$, $y = b^{\frac{1}{3}}$: $$a - b = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 - \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3 = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)$$ Сократим дробь на $\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)$: $$\frac{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$$ 4. Выполним вычитание: $$\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$$ Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$ (или $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}$).