ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 544

1) Упростим выражение $\frac{\sqrt{(a-b)^2}}{a-b}$, где $a > b$. Используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{t^2} = |t|$: $$ \sqrt{(a-b)^2} = |a-b| $$ Так как по условию $a > b$, то разность $a - b > 0$. Следовательно, модуль раскрывается со знаком «плюс»: $|a-b| = a-b$. Подставим полученное выражение: $$ \frac{\sqrt{(a-b)^2}}{a-b} = \frac{|a-b|}{a-b} = \frac{a-b}{a-b} = 1 $$ 2) Упростим выражение $\frac{\sqrt{(a-b)^2}}{a-b}$, где $b > a$. Используем то же свойство корня: $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$. Так как по условию $b > a$, то разность $a - b < 0$. Следовательно, модуль раскрывается со знаком «минус»: $|a-b| = -(a-b)$. Подставим полученное выражение: $$ \frac{\sqrt{(a-b)^2}}{a-b} = \frac{|a-b|}{a-b} = \frac{-(a-b)}{a-b} = -1 $$ 3) Упростим выражение $\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{\sqrt{x^2 + x + 1}}$, где $x > 0$. Преобразуем подкоренное выражение в числителе, приведя дроби к общему знаменателю $x^2$: $$ 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2} $$ Заметим, что $x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$ при любых действительных $x$. Применим свойство корня из частного: $$ \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{x^2 + x + 1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{|x|} $$ Так как $x > 0$, то $|x| = x$. Подставим результат в исходную дробь: $$ \frac{\frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x}}{\sqrt{x^2 + x + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x \cdot \sqrt{x^2 + x + 1}} = \frac{1}{x} $$ 4) Упростим выражение $\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{\sqrt{x^2 + x + 1}}$, где $x < 0$. Аналогично предыдущему пункту приведем выражение под корнем в числителе к общему знаменателю: $$ 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2} $$ Извлечем корень: $$ \sqrt{\frac{x^2 + x + 1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{|x|} $$ Так как по условию $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставим полученное выражение в исходную дробь: $$ \frac{\frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{-x}}{\sqrt{x^2 + x + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{-x \cdot \sqrt{x^2 + x + 1}} = -\frac{1}{x} $$ **Ответ:** 1) $1$; 2) $-1$; 3) $\frac{1}{x}$; 4) $-\frac{1}{x}$.