ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 516

**1)** Рассмотри систему уравнений: $$ \begin{cases} y = |x| - 1, \\ x^2 + (y + 2)^2 = 4. \end{cases} $$ Графиком первого уравнения $y = |x| - 1$ является график с вершиной в точке $(0; -1)$, ветви которого направлены вверх. Графиком второго уравнения $x^2 + (y + 2)^2 = 4$ является окружность с центром в точке $(0; -2)$ и радиусом $R = 2$. Фигурой, заданной системой, является пересечение этих двух графиков. Найдём число общих точек аналитически: Из первого уравнения $|x| = y + 1 \ge 0$, откуда $y \ge -1$ и $x^2 = (y + 1)^2$. Подставим во второе уравнение: $$ (y + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 $$ $$ y^2 + 2y + 1 + y^2 + 4y + 4 = 4 $$ $$ 2y^2 + 6y + 1 = 0 $$ $$ D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 36 - 8 = 28 > 0 $$ $$ y = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{2} $$ Так как $\sqrt{7} \approx 2{,}65$: * $y_1 = \frac{-3 + \sqrt{7}}{2} \approx -0{,}18 \ge -1$ — удовлетворяет условию; * $y_2 = \frac{-3 - \sqrt{7}}{2} \approx -2{,}82 < -1$ — не удовлетворяет условию $y \ge -1$. Для $y_1$ получаем $|x| = y_1 + 1 > 0$, что даёт два различных значения $x$: $$ x = \pm (y_1 + 1) $$ Система имеет два решения. **Ответ:** две точки (точки пересечения графика $y = |x| - 1$ и окружности). --- **2)** Рассмотри систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + (y - 1)^2 = 9, \\ y = |x| + 2. \end{cases} $$ Графиком первого уравнения является окружность с центром в точке $(0; 1)$ и радиусом $R = 3$. Графиком второго уравнения является график функции $y = |x| + 2$ с вершиной в точке $(0; 2)$, ветви направлены вверх. Из второго уравнения $|x| = y - 2 \ge 0$, следовательно, $y \ge 2$ и $x^2 = (y - 2)^2$. Подставим в первое уравнение: $$ (y - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9 $$ $$ y^2 - 4y + 4 + y^2 - 2y + 1 = 9 $$ $$ 2y^2 - 6y - 4 = 0 $$ $$ y^2 - 3y - 2 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17 > 0 $$ $$ y = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} $$ Так как $\sqrt{17} \approx 4{,}12$: * $y_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3{,}56 \ge 2$ — удовлетворяет условию; * $y_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx -0{,}56 < 2$ — не удовлетворяет условию $y \ge 2$. Для $y_1$ получаем $|x| = y_1 - 2 > 0$, откуда $x = \pm (y_1 - 2)$. Система имеет два решения. **Ответ:** две точки (точки пересечения окружности и графика $y = |x| + 2$). --- **3)** Рассмотри систему уравнений: $$ \begin{cases} y = (x + 1)^2 + 1, \\ (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 9. \end{cases} $$ Графиком первого уравнения является парабола с вершиной в точке $(-1; 1)$, ветви которой направлены вверх. Графиком второго уравнения является окружность с центром в точке $(-1; -1)$ и радиусом $R = 3$. Из первого уравнения выразим $(x + 1)^2 = y - 1$, при этом $y \ge 1$. Подставим во второе уравнение: $$ (y - 1) + (y + 1)^2 = 9 $$ $$ y - 1 + y^2 + 2y + 1 = 9 $$ $$ y^2 + 3y - 9 = 0 $$ $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 9 + 36 = 45 > 0 $$ $$ y = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2} $$ Так как $3\sqrt{5} \approx 6{,}71$: * $y_1 = \frac{-3 + 3\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}85 \ge 1$ — удовлетворяет условию; * $y_2 = \frac{-3 - 3\sqrt{5}}{2} < 0 < 1$ — не удовлетворяет условию $y \ge 1$. Для $y_1$ имеем $(x + 1)^2 = y_1 - 1 > 0$, что даёт два различных значения $x$. Система имеет два решения. **Ответ:** две точки (точки пересечения параболы и окружности). --- **4)** Рассмотри систему уравнений: $$ \begin{cases} y = (x + 1)^2 - 1, \\ (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4. \end{cases} $$ Графиком первого уравнения является парабола с вершиной в точке $(-1; -1)$, ветви направлены вверх. Графиком второго уравнения является окружность с центром в точке $(-1; -2)$ и радиусом $R = 2$. Из первого уравнения выразим $(x + 1)^2 = y + 1$, где $y \ge -1$. Подставим во второе уравнение: $$ (y + 1) + (y + 2)^2 = 4 $$ $$ y + 1 + y^2 + 4y + 4 = 4 $$ $$ y^2 + 5y + 1 = 0 $$ $$ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21 > 0 $$ $$ y = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2} $$ Так как $\sqrt{21} \approx 4{,}58$: * $y_1 = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2} \approx -0{,}21 \ge -1$ — удовлетворяет условию; * $y_2 = \frac{-5 - \sqrt{21}}{2} \approx -4{,}79 < -1$ — не удовлетворяет условию $y \ge -1$. При $y = y_1$ получаем $(x + 1)^2 = y_1 + 1 > 0$, что даёт два различных значения $x$. Система имеет два решения. **Ответ:** две точки (точки пересечения параболы и окружности). --- **5)** Рассмотри систему уравнений: $$ \begin{cases} (x - 1)^2 + y^2 = 4, \\ y = \sqrt{x - 2}. \end{cases} $$ Графиком первого уравнения является окружность с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $R = 2$. Графиком второго уравнения является ветвь параболы $y = \sqrt{x - 2}$, определённая при $x \ge 2$, причём $y \ge 0$. Из второго уравнения при $x \ge 2$ и $y \ge 0$ следует $y^2 = x - 2$. Подставим в первое уравнение: $$ (x - 1)^2 + (x - 2) = 4 $$ $$ x^2 - 2x + 1 + x - 2 - 4 = 0 $$ $$ x^2 - x - 5 = 0 $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21 > 0 $$ $$ x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2} $$ Так как $\sqrt{21} \approx 4{,}58$: * $x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \approx 2{,}79 \ge 2$ — входит в область определения; * $x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \approx -1{,}79 < 2$ — не входит в область определения. Для $x_1$ значение $y = \sqrt{x_1 - 2}$ определяется единственным образом ($y > 0$). Система имеет одно решение. **Ответ:** одна точка (точка пересечения окружности и графика функции $y = \sqrt{x - 2}$). --- **6)** Рассмотри систему уравнений: $$ \begin{cases} (x + 2)^2 + y^2 = 9, \\ y = \sqrt{x + 1}. \end{cases} $$ Графиком первого уравнения является окружность с центром в точке $(-2; 0)$ и радиусом $R = 3$. Графиком второго уравнения является ветвь параболы $y = \sqrt{x + 1}$, определённая при $x \ge -1$, причём $y \ge 0$. Из второго уравнения при $x \ge -1$ и $y \ge 0$ следует $y^2 = x + 1$. Подставим в первое уравнение: $$ (x + 2)^2 + (x + 1) = 9 $$ $$ x^2 + 4x + 4 + x + 1 - 9 = 0 $$ $$ x^2 + 5x - 4 = 0 $$ $$ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41 > 0 $$ $$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2} $$ Так как $\sqrt{41} \approx 6{,}40$: * $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \approx 0{,}70 \ge -1$ — входит в область определения; * $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2} \approx -5{,}70 < -1$ — не входит в область определения. Для $x_1$ значение $y = \sqrt{x_1 + 1}$ определяется единственным образом ($y > 0$). Система имеет одно решение. **Ответ:** одна точка (точка пересечения окружности и графика функции $y = \sqrt{x + 1}$).