ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 515

### 1) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} 4x + y \leqslant 2, \\ 2x - y < 3 \end{cases} $$ Выразим переменную $y$ в каждом неравенстве: $$ \begin{cases} y \leqslant -4x + 2, \\ y > 2x - 3 \end{cases} $$ 1. Построим граничные прямые: - Прямая $y = -4x + 2$ проходит через точки $(0; 2)$ и $(1; -2)$. Неравенство нестрогое ($\leqslant$), поэтому прямая изображается сплошной линией. Решением неравенства $y \leqslant -4x + 2$ является полуплоскость, расположенная ниже этой прямой (включая саму прямую). - Прямая $y = 2x - 3$ проходит через точки $(0; -3)$ и $(2; 1)$. Неравенство строгое ($>$), поэтому прямая изображается пунктирной линией. Решением неравенства $y > 2x - 3$ является полуплоскость, расположенная выше этой прямой (не включая прямую). 2. Найдем точку пересечения граничных прямых: $$ -4x + 2 = 2x - 3 \implies 6x = 5 \implies x = \frac{5}{6}, \quad y = 2 \cdot \frac{5}{6} - 3 = -\frac{4}{3} $$ Точка пересечения: $\left(\frac{5}{6}; -\frac{4}{3}\right)$. **Результат:** множеством решений является плоский угол с вершиной в точке $\left(\frac{5}{6}; -\frac{4}{3}\right)$, лежащий ниже сплошной прямой $y = -4x + 2$ и выше пунктирной прямой $y = 2x - 3$. Точки прямой $y = -4x + 2$ входят в решение (за исключением вершины), точки прямой $y = 2x - 3$ не входят в решение. --- ### 2) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} 3x - y \geqslant 1, \\ 2x + y > 4 \end{cases} $$ Выразим переменную $y$: $$ \begin{cases} y \leqslant 3x - 1, \\ y > -2x + 4 \end{cases} $$ 1. Построим граничные прямые: - Прямая $y = 3x - 1$ проходит через точки $(0; -1)$ и $(1; 2)$. Знак $\leqslant$ — прямая сплошная, выбирается полуплоскость ниже прямой (включая прямую). - Прямая $y = -2x + 4$ проходит через точки $(0; 4)$ и $(2; 0)$. Знак $>$ — прямая пунктирная, выбирается полуплоскость выше прямой (не включая прямую). 2. Найдем точку пересечения границ: $$ 3x - 1 = -2x + 4 \implies 5x = 5 \implies x = 1, \quad y = 3 \cdot 1 - 1 = 2 $$ Точка пересечения: $(1; 2)$. **Результат:** множеством точек является угол с вершиной в точке $(1; 2)$, расположенный ниже сплошной прямой $y = 3x - 1$ и выше пунктирной прямой $y = -2x + 4$. Граница $y = 3x - 1$ принадлежит множеству, за исключением самой вершины $(1; 2)$. --- ### 3) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} 5x - 2y > -1, \\ -3x + 2y \geqslant -2 \end{cases} $$ Выразим переменную $y$: $$ \begin{cases} -2y > -5x - 1, \\ 2y \geqslant 3x - 2 \end{cases} \iff \begin{cases} y < 2,5x + 0,5, \\ y \geqslant 1,5x - 1 \end{cases} $$ 1. Построим границы: - Прямая $y = 2,5x + 0,5$ проходит через точки $(1; 3)$ и $(-1; -2)$. Знак $<$ — линия пунктирная, полуплоскость лежит ниже прямой. - Прямая $y = 1,5x - 1$ проходит через точки $(0; -1)$ и $(2; 2)$. Знак $\geqslant$ — линия сплошная, полуплоскость лежит выше прямой (включая прямую). 2. Найдем точку пересечения прямых: $$ 2,5x + 0,5 = 1,5x - 1 \implies x = -1,5, \quad y = 1,5 \cdot (-1,5) - 1 = -3,25 $$ Точка пересечения: $(-1,5; -3,25)$. **Результат:** множеством точек является угол с вершиной в точке $(-1,5; -3,25)$, расположенный ниже пунктирной прямой $y = 2,5x + 0,5$ и выше сплошной прямой $y = 1,5x - 1$. Луч сплошной прямой входит в решение, вершина угла в решение не входит. --- ### 4) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} -4x + 3y < -3, \\ 3x - 2y \leqslant -2 \end{cases} $$ Выразим $y$: $$ \begin{cases} 3y < 4x - 3, \\ -2y \leqslant -3x - 2 \end{cases} \iff \begin{cases} y < \frac{4}{3}x - 1, \\ y \geqslant 1,5x + 1 \end{cases} $$ 1. Построим границы: - Прямая $y = \frac{4}{3}x - 1$ проходит через точки $(0; -1)$ и $(3; 3)$. Линия пунктирная, область лежит ниже прямой. - Прямая $y = 1,5x + 1$ проходит через точки $(0; 1)$ и $(2; 4)$. Линия сплошная, область лежит выше прямой (включая прямую). 2. Найдем точку пересечения: $$ \frac{4}{3}x - 1 = \frac{3}{2}x + 1 \implies \frac{4}{3}x - \frac{3}{2}x = 2 \implies -\frac{1}{6}x = 2 \implies x = -12, \quad y = 1,5 \cdot (-12) + 1 = -17 $$ Точка пересечения: $(-12; -17)$. **Результат:** множеством решений является угол с вершиной в точке $(-12; -17)$, лежащий выше сплошной прямой $y = 1,5x + 1$ и ниже пунктирной прямой $y = \frac{4}{3}x - 1$. Луч сплошной прямой входит в решение, вершина не входит. --- ### 5) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} (x + 0,5)^2 + (y - 1,5)^2 > 9, \\ x - y < 2 \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $y > x - 2$. 1. Граница первого неравенства: $$ (x + 0,5)^2 + (y - 1,5)^2 = 3^2 $$ Это окружность с центром в точке $O_1(-0,5; 1,5)$ и радиусом $R = 3$. Знак $>$ означает, что решением является внешность круга (без границы). Линия окружности изображается пунктиром. 2. Граница второго неравенства: Прямая $y = x - 2$ проходит через точки $(0; -2)$ и $(2; 0)$. Линия пунктирная. Решением неравенства $y > x - 2$ является полуплоскость, лежащая выше этой прямой. **Результат:** искомая область — это полуплоскость, расположенная строго выше пунктирной прямой $y = x - 2$, из которой исключен круг (включая его границу) с центром в точке $(-0,5; 1,5)$ и радиусом $3$. Все границы изображаются пунктиром и не принадлежат множеству решений. --- ### 6) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} (x - 2,5)^2 + (y - 0,5)^2 \geqslant 16, \\ x - y > -1 \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $y < x + 1$. 1. Граница первого неравенства: $$ (x - 2,5)^2 + (y - 0,5)^2 = 4^2 $$ Это окружность с центром в точке $O_2(2,5; 0,5)$ и радиусом $R = 4$. Знак $\geqslant$ означает, что решением является множество точек на самой окружности и вне её (внешность круга). Линия окружности изображается сплошной. 2. Граница второго неравенства: Прямая $y = x + 1$ проходит через точки $(0; 1)$ и $(-1; 0)$. Линия пунктирная. Решением неравенства $y < x + 1$ является полуплоскость, лежащая строго ниже этой прямой. **Результат:** множеством точек является полуплоскость, лежащая строго ниже пунктирной прямой $y = x + 1$, с вырезанной из неё внутренней частью круга с центром $(2,5; 0,5)$ и радиусом $4$. Точки самой окружности, лежащие ниже прямой $y = x + 1$, входят в решение. Прямая $y = x + 1$ в решение не входит. --- ### 7) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \geqslant 4, \\ x^2 + y^2 \leqslant 25 \end{cases} $$ 1. Уравнение $x^2 + y^2 = 2^2$ задает окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R_1 = 2$. Неравенство $x^2 + y^2 \geqslant 4$ задает область вне этой окружности вместе с самой границей. Линия сплошная. 2. Уравнение $x^2 + y^2 = 5^2$ задает окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R_2 = 5$. Неравенство $x^2 + y^2 \leqslant 25$ задает круг радиуса $5$ вместе с его границей. Линия сплошная. **Результат:** решением системы является круговое кольцо с центром в точке $(0; 0)$, ограниченное концентрическими окружностями радиусов $R_1 = 2$ и $R_2 = 5$. Обе граничные окружности входят в решение (изображаются сплошными линиями). --- ### 8) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 < 16, \\ x^2 + y^2 > 9 \end{cases} $$ Перепишем систему в виде двойного неравенства: $$ 9 < x^2 + y^2 < 16 \iff 3^2 < x^2 + y^2 < 4^2 $$ 1. Границами служат две концентрические окружности с центром в начале координат $(0; 0)$: - окружность $x^2 + y^2 = 9$ радиуса $r = 3$; - окружность $x^2 + y^2 = 16$ радиуса $R = 4$. 2. Так как оба неравенства строгие, обе окружности изображаются пунктирными линиями. **Результат:** решением является открытое кольцо — область между окружностями с центром в точке $(0; 0)$ и радиусами $3$ и $4$. Сами граничные окружности в решение не входят (изображаются пунктиром).