ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 142

1) Решим показательное уравнение: $$ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2x+1}=(3\sqrt{3})^{x} $$ Представим обе части уравнения в виде степеней с основанием $3$: $$ \frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-\frac{1}{2}} $$ $$ 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} $$ Преобразуем степени в левой и правой частях: $$ \left(3^{-\frac{1}{2}}\right)^{2x+1} = \left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{x} $$ $$ 3^{-\frac{1}{2}(2x+1)} = 3^{\frac{3}{2}x} $$ $$ 3^{-x - 0,5} = 3^{1,5x} $$ Так как основания равны ($3 > 0, 3 \neq 1$), приравниваем показатели степеней: $$ -x - 0,5 = 1,5x $$ $$ -x - 1,5x = 0,5 $$ $$ -2,5x = 0,5 $$ $$ x = -\frac{0,5}{2,5} = -0,2 $$ Ответ: $x = -0,2$. 2) Заметим, что в школьном учебнике запись $3\sqrt{2}$ обозначает корень третьей степени $\sqrt[3]{2}$: $$ (\sqrt[3]{2})^{x-1}=\left(\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\right)^{2x} $$ Представим выражения в виде степеней с основанием $2$: $$ \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}} $$ $$ \frac{2}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2^1}{2^{\frac{1}{3}}} = 2^{1 - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} $$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$ \left(2^{\frac{1}{3}}\right)^{x-1} = \left(2^{\frac{2}{3}}\right)^{2x} $$ Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $$ 2^{\frac{x-1}{3}} = 2^{\frac{4x}{3}} $$ Приравниваем показатели: $$ \frac{x-1}{3} = \frac{4x}{3} $$ Умножим обе части уравнения на $3$: $$ x - 1 = 4x $$ $$ x - 4x = 1 $$ $$ -3x = 1 $$ $$ x = -\frac{1}{3} $$ Ответ: $x = -\frac{1}{3}$. 3) Решим уравнение: $$ 9^{3x+4}\sqrt{3}=\frac{27^{x-1}}{\sqrt{3}} $$ Представим все множители в виде степеней с основанием $3$: $$ 9^{3x+4} = (3^2)^{3x+4} = 3^{2(3x+4)} = 3^{6x+8} $$ $$ \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{0,5} $$ $$ 27^{x-1} = (3^3)^{x-1} = 3^{3(x-1)} = 3^{3x-3} $$ Преобразуем левую часть уравнения: $$ 9^{3x+4}\sqrt{3} = 3^{6x+8} \cdot 3^{0,5} = 3^{6x+8+0,5} = 3^{6x+8,5} $$ Преобразуем правую часть уравнения: $$ \frac{27^{x-1}}{\sqrt{3}} = \frac{3^{3x-3}}{3^{0,5}} = 3^{3x-3-0,5} = 3^{3x-3,5} $$ Получаем уравнение: $$ 3^{6x+8,5} = 3^{3x-3,5} $$ Приравниваем показатели: $$ 6x + 8,5 = 3x - 3,5 $$ $$ 6x - 3x = -3,5 - 8,5 $$ $$ 3x = -12 $$ $$ x = -4 $$ Ответ: $x = -4$. 4) Решим уравнение: $$ \frac{8}{(\sqrt{2})^{x}}=4^{3x-2}\sqrt{2} $$ Приведем все элементы уравнения к основанию $2$: $$ 8 = 2^3 $$ $$ (\sqrt{2})^x = \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^x = 2^{0,5x} $$ $$ 4^{3x-2} = (2^2)^{3x-2} = 2^{2(3x-2)} = 2^{6x-4} $$ $$ \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0,5} $$ Преобразуем левую часть: $$ \frac{8}{(\sqrt{2})^x} = \frac{2^3}{2^{0,5x}} = 2^{3 - 0,5x} $$ Преобразуем правую часть: $$ 4^{3x-2}\sqrt{2} = 2^{6x-4} \cdot 2^{0,5} = 2^{6x - 4 + 0,5} = 2^{6x - 3,5} $$ Получаем уравнение: $$ 2^{3 - 0,5x} = 2^{6x - 3,5} $$ Приравниваем показатели: $$ 3 - 0,5x = 6x - 3,5 $$ $$ -0,5x - 6x = -3,5 - 3 $$ $$ -6,5x = -6,5 $$ $$ x = 1 $$ Ответ: $x = 1$.