ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 141

**1)** Приведём обе части уравнения к основанию $3$: $$ \left( \frac{1}{9} \right)^{2x-5} = 3^{5x-8} $$ Так как $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, получаем: $$ (3^{-2})^{2x-5} = 3^{5x-8} $$ $$ 3^{-2(2x-5)} = 3^{5x-8} $$ $$ 3^{-4x+10} = 3^{5x-8} $$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $$ -4x + 10 = 5x - 8 $$ $$ -4x - 5x = -8 - 10 $$ $$ -9x = -18 $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $2$. --- **2)** Приведём обе части уравнения к основанию $2$: $$ 2^{4x-9} = \left( \frac{1}{2} \right)^{x-4} $$ Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, получаем: $$ 2^{4x-9} = (2^{-1})^{x-4} $$ $$ 2^{4x-9} = 2^{-(x-4)} $$ $$ 2^{4x-9} = 2^{-x+4} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ 4x - 9 = -x + 4 $$ $$ 4x + x = 4 + 9 $$ $$ 5x = 13 $$ $$ x = 2,6 $$ Ответ: $2,6$. --- **3)** Приведём все степени к основанию $2$: $$ 8^x \cdot 4^{x+13} = \frac{1}{16} $$ Представим каждое число в виде степени с основанием $2$: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$, $\frac{1}{16} = 2^{-4}$. Подставим в уравнение: $$ (2^3)^x \cdot (2^2)^{x+13} = 2^{-4} $$ $$ 2^{3x} \cdot 2^{2(x+13)} = 2^{-4} $$ $$ 2^{3x} \cdot 2^{2x+26} = 2^{-4} $$ При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $$ 2^{3x + 2x + 26} = 2^{-4} $$ $$ 2^{5x + 26} = 2^{-4} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ 5x + 26 = -4 $$ $$ 5x = -4 - 26 $$ $$ 5x = -30 $$ $$ x = -6 $$ Ответ: $-6$. --- **4)** Приведём все степени к основанию $5$: $$ \frac{25^{x-2}}{\sqrt{5}} = \left( \frac{1}{5} \right)^{x-7,5} $$ Представим компоненты уравнения в виде степеней с основанием $5$: $25 = 5^2$, $\sqrt{5} = 5^{0,5}$, $\frac{1}{5} = 5^{-1}$. Преобразуем левую часть уравнения: $$ \frac{(5^2)^{x-2}}{5^{0,5}} = \frac{5^{2x-4}}{5^{0,5}} = 5^{2x - 4 - 0,5} = 5^{2x - 4,5} $$ Преобразуем правую часть уравнения: $$ \left( 5^{-1} \right)^{x-7,5} = 5^{-(x-7,5)} = 5^{-x + 7,5} $$ Запишем полученное уравнение: $$ 5^{2x - 4,5} = 5^{-x + 7,5} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ 2x - 4,5 = -x + 7,5 $$ $$ 2x + x = 7,5 + 4,5 $$ $$ 3x = 12 $$ $$ x = 4 $$ Ответ: $4$.