ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 115

**1)** Вычислим значение выражения: $$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}$$ Представим подкоренные выражения в виде степеней с основанием $3$ и перейдём к степеням с дробным показателем (используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$): * $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ * $\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}$ * $\sqrt[6]{3} = 3^{\frac{1}{6}}$ Применяя свойства степеней $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ и $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$, получаем: $$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}} = \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{1}{6}}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}}$$ Приведём дроби в показателе степени к общему знаменателю $6$: $$3^{\frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6}} = 3^{\frac{3 + 4 - 1}{6}} = 3^{\frac{6}{6}} = 3^1 = 3$$ Ответ: $3$. --- **2)** Вычислим значение выражения (в учебнике числитель представляет собой произведение корней $\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}$): $$\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}$$ Так как $343 = 7^3$, запишем корни в виде степеней с основанием $7$: * $\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$ * $\sqrt[4]{343} = \sqrt[4]{7^3} = 7^{\frac{3}{4}}$ * $\sqrt[12]{7} = 7^{\frac{1}{12}}$ Выполним действия со степенями: $$\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}} = \frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}}{7^{\frac{1}{12}}} = 7^{\frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12}}$$ Приведём показатели к общему знаменателю $12$: $$7^{\frac{4}{12} + \frac{9}{12} - \frac{1}{12}} = 7^{\frac{4 + 9 - 1}{12}} = 7^{\frac{12}{12}} = 7^1 = 7$$ Ответ: $7$. --- **3)** Вычислим значение выражения: $$(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$$ Заметим, что выражение представляет собой произведение суммы двух чисел на их неполный квадрат разности. Воспользуемся формулой суммы кубов $(a^2 - ab + b^2)(a + b) = a^3 + b^3$, где $a = \sqrt[3]{2}$, а $b = \sqrt[3]{5}$: * $a^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$ * $ab = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{10}$ * $b^2 = (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{25}$ Тогда: $$((\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2)(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}) = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{5})^3 = 2 + 5 = 7$$ Ответ: $7$. --- **4)** Вычислим значение выражения: $$(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})$$ Воспользуемся формулой разности кубов $(a^2 + ab + b^2)(a - b) = a^3 - b^3$, где $a = \sqrt[3]{3}$, а $b = \sqrt[3]{2}$: * $a^2 = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{9}$ * $ab = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{6}$ * $b^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$ Тогда: $$((\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2)(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{3})^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = 3 - 2 = 1$$ Ответ: $1$.