ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 888

### 1) $$\begin{cases} xy(x + y) = 6, \\ x^3 + y^3 = 9 \end{cases}$$ Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$. Введем замену переменных: пусть $u = x + y$, $v = xy$. Тогда система принимает вид: $$\begin{cases} uv = 6, \\ u^3 - 3uv = 9 \end{cases}$$ Подставим $uv = 6$ во второе уравнение: $$u^3 - 3 \cdot 6 = 9$$ $$u^3 - 18 = 9$$ $$u^3 = 27 \implies u = 3$$ Найдем $v$: $$3v = 6 \implies v = 2$$ Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$\begin{cases} x + y = 3, \\ xy = 2 \end{cases}$$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $$t^2 - 3t + 2 = 0$$ $$t_1 = 1, \quad t_2 = 2$$ Отсюда получаем две пары решений: $(1; 2)$ и $(2; 1)$. **Ответ:** $(1; 2), (2; 1)$. --- ### 2) $$\begin{cases} (x - y)(x^2 - y^2) = 7, \\ (x + y)(x^2 + y^2) = 175 \end{cases}$$ Разложим разность квадратов в первом уравнении: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Получаем: $$(x - y)^2 (x + y) = 7$$ Пусть $u = x + y$, $w = x - y$. Тогда: $$x = \frac{u + w}{2}, \quad y = \frac{u - w}{2}$$ $$x^2 + y^2 = \frac{u^2 + w^2}{2}$$ Запишем систему относительно $u$ и $w$: $$\begin{cases} w^2 u = 7, \\ u \cdot \dfrac{u^2 + w^2}{2} = 175 \end{cases}$$ Преобразуем второе уравнение: $$u(u^2 + w^2) = 350$$ $$u^3 + u w^2 = 350$$ Так как $u w^2 = 7$, получаем: $$u^3 + 7 = 350$$ $$u^3 = 343 \implies u = 7$$ Подставим $u = 7$ в первое уравнение: $$7w^2 = 7 \implies w^2 = 1 \implies w = \pm 1$$ Рассмотрим два случая: 1) Если $w = 1$: $$\begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 1 \end{cases} \implies 2x = 8 \implies x = 4, \quad y = 3$$ 2) Если $w = -1$: $$\begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = -1 \end{cases} \implies 2x = 6 \implies x = 3, \quad y = 4$$ **Ответ:** $(4; 3), (3; 4)$. --- ### 3) $$\begin{cases} x^3 + 4y = y^3 + 16x, \\ 1 + y^2 = 5(1 + x^2) \end{cases}$$ Преобразуем первое уравнение: $$x^3 - 16x = y^3 - 4y$$ $$x(x^2 - 16) = y(y^2 - 4)$$ Из второго уравнения выразим $y^2 - 4$: $$1 + y^2 = 5 + 5x^2 \implies y^2 - 4 = 5x^2$$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$x(x^2 - 16) = y \cdot 5x^2$$ $$x(x^2 - 16) - 5x^2 y = 0$$ $$x(x^2 - 5xy - 16) = 0$$ Получаем два случая: 1) $x = 0$. Тогда из второго уравнения: $$y^2 = 5x^2 + 4 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$$ Получаем решения: $(0; 2)$ и $(0; -2)$. 2) $x \neq 0$, тогда: $$x^2 - 5xy - 16 = 0 \implies y = \frac{x^2 - 16}{5x}$$ Подставим $y$ в равенство $y^2 = 5x^2 + 4$: $$\left(\frac{x^2 - 16}{5x}\right)^2 = 5x^2 + 4$$ $$\frac{x^4 - 32x^2 + 256}{25x^2} = 5x^2 + 4$$ $$x^4 - 32x^2 + 256 = 125x^4 + 100x^2$$ $$124x^4 + 132x^2 - 256 = 0$$ Разделим обе части на 4: $$31x^4 + 33x^2 - 64 = 0$$ Пусть $t = x^2$ ($t > 0$): $$31t^2 + 33t - 64 = 0$$ Так как сумма коэффициентов $31 + 33 - 64 = 0$, корнями являются: $$t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{64}{31} \text{ (не подходит, так как } t > 0\text{)}$$ Отсюда: $$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ - При $x = 1$: $y = \dfrac{1 - 16}{5 \cdot 1} = -3$. - При $x = -1$: $y = \dfrac{(-1)^2 - 16}{5 \cdot (-1)} = 3$. **Ответ:** $(0; 2), (0; -2), (1; -3), (-1; 3)$. --- ### 4) $$\begin{cases} x^3 + y^3 + x^2y + xy^2 = 5, \\ x^4y^2 + x^2y^4 = 20 \end{cases}$$ Разложим левые части уравнений на множители: $$x^2(x + y) + y^2(x + y) = (x^2 + y^2)(x + y) = 5$$ $$x^2y^2(x^2 + y^2) = 20$$ Пусть $u = x + y$, $v = xy$. Тогда $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$. Система принимает вид: $$\begin{cases} (u^2 - 2v)u = 5, \\ v^2(u^2 - 2v) = 20 \end{cases}$$ Выразим $u^2 - 2v = \dfrac{5}{u}$ из первого уравнения ($u \neq 0$) и подставим во второе: $$v^2 \cdot \frac{5}{u} = 20 \implies \frac{v^2}{u} = 4 \implies u = \frac{v^2}{4}$$ Тогда: $$u^2 - 2v = \left(\frac{v^2}{4}\right)^2 - 2v = \frac{v^4}{16} - 2v$$ С другой стороны, $u^2 - 2v = \dfrac{5}{u} = \dfrac{20}{v^2}$. Приравняем эти выражения: $$\frac{v^4}{16} - 2v = \frac{20}{v^2}$$ Умножим обе части уравнения на $16v^2$ ($v \neq 0$): $$v^6 - 32v^3 = 320$$ $$(v^3)^2 - 32(v^3) - 320 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно $v^3$: $$D_1 = (-16)^2 - (-320) = 256 + 320 = 576 = 24^2$$ $$v^3 = 16 + 24 = 40 \quad \text{или} \quad v^3 = 16 - 24 = -8$$ Рассмотрим оба случая: 1) $v^3 = -8 \implies v = -2$. Тогда $u = \dfrac{(-2)^2}{4} = 1$. Получаем систему: $$\begin{cases} x + y = 1, \\ xy = -2 \end{cases}$$ По теореме Виета корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$. Решения: $(2; -1)$ и $(-1; 2)$. 2) $v^3 = 40 \implies v = \sqrt[3]{40} = 2\sqrt[3]{5}$. Тогда $u = \dfrac{(2\sqrt[3]{5})^2}{4} = \sqrt[3]{25}$. Проверим существование действительных корней: $$D = u^2 - 4v = (\sqrt[3]{25})^2 - 4 \cdot 2\sqrt[3]{5} = 5\sqrt[3]{5} - 8\sqrt[3]{5} = -3\sqrt[3]{5} < 0$$ Действительных решений нет. **Ответ:** $(2; -1), (-1; 2)$. --- ### 5) $$\begin{cases} 2(x + y) = 5xy, \\ 8(x^3 + y^3) = 65 \end{cases}$$ Пусть $u = x + y$, $v = xy$. Тогда $x^3 + y^3 = u^3 - 3uv$. Система принимает вид: $$\begin{cases} 2u = 5v, \\ 8(u^3 - 3uv) = 65 \end{cases}$$ Из первого уравнения $v = \dfrac{2}{5}u$. Подставим во второе: $$8\left(u^3 - 3u \cdot \frac{2}{5}u\right) = 65$$ $$8\left(u^3 - \frac{6}{5}u^2\right) = 65$$ $$40u^3 - 48u^2 - 325 = 0$$ Подбором среди делителей свободного члена находим корень $u = \dfrac{5}{2}$: $$40 \cdot \frac{125}{8} - 48 \cdot \frac{25}{4} - 325 = 625 - 300 - 325 = 0$$ Разложим многочлен на множители: $$(2u - 5)(20u^2 + 26u + 65) = 0$$ Для квадратного трехчлена $20u^2 + 26u + 65$: $$D_1 = 13^2 - 20 \cdot 65 = 169 - 1300 < 0 \implies \text{действительных корней нет}$$ Следовательно, $u = \dfrac{5}{2}$, тогда: $$v = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1$$ Возвращаемся к $x$ и $y$: $$\begin{cases} x + y = \dfrac{5}{2}, \\ xy = 1 \end{cases}$$ Составим квадратное уравнение $t^2 - \dfrac{5}{2}t + 1 = 0 \implies 2t^2 - 5t + 2 = 0$. Его корни: $t_1 = 2$, $t_2 = \dfrac{1}{2}$. **Ответ:** $\left(2; \dfrac{1}{2}\right), \left(\dfrac{1}{2}; 2\right)$. --- ### 6) $$\begin{cases} x^3 - y^3 = 19(x - y), \\ x^3 + y^3 = 7(x + y) \end{cases}$$ Разложим левые части на множители: $$\begin{cases} (x - y)(x^2 + xy + y^2 - 19) = 0, \\ (x + y)(x^2 - xy + y^2 - 7) = 0 \end{cases}$$ Рассмотрим возможные случаи: 1) $x - y = 0 \implies y = x$. Подставим во второе уравнение: $$(x + x)(x^2 - x^2 + x^2 - 7) = 0 \implies 2x(x^2 - 7) = 0$$ Отсюда $x = 0$ или $x = \pm\sqrt{7}$. Получаем решения: $(0; 0)$, $(\sqrt{7}; \sqrt{7})$, $(-\sqrt{7}; -\sqrt{7})$. 2) $x + y = 0 \implies y = -x$. Подставим в первое уравнение: $$(x - (-x))(x^2 + x(-x) + (-x)^2 - 19) = 0 \implies 2x(x^2 - 19) = 0$$ Отсюда $x = 0$ (решение $(0; 0)$ уже найдено) или $x = \pm\sqrt{19}$. Получаем решения: $(\sqrt{19}; -\sqrt{19})$, $(-\sqrt{19}; \sqrt{19})$. 3) $x - y \neq 0$ и $x + y \neq 0$. Тогда система имеет вид: $$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19, \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases}$$ Вычтем из первого уравнения второе: $$2xy = 12 \implies xy = 6$$ Сложим первое и второе уравнения: $$2(x^2 + y^2) = 26 \implies x^2 + y^2 = 13$$ Тогда: $$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 13 + 12 = 25 \implies x + y = \pm 5$$ $$(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 13 - 12 = 1 \implies x - y = \pm 1$$ Комбинируя эти равенства, получаем четыре системы: - $\begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = 1 \end{cases} \implies x = 3, \quad y = 2$ - $\begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = -1 \end{cases} \implies x = 2, \quad y = 3$ - $\begin{cases} x + y = -5, \\ x - y = 1 \end{cases} \implies x = -2, \quad y = -3$ - $\begin{cases} x + y = -5, \\ x - y = -1 \end{cases} \implies x = -3, \quad y = -2$ **Ответ:** $(0; 0), (\sqrt{7}; \sqrt{7}), (-\sqrt{7}; -\sqrt{7}), (\sqrt{19}; -\sqrt{19}), (-\sqrt{19}; \sqrt{19}), (3; 2), (2; 3), (-2; -3), (-3; -2)$. --- ### 7) $$\begin{cases} (x + y)(x^2 - y^2) = 9, \\ (x - y)(x^2 + y^2) = 5 \end{cases}$$ Разложим разность квадратов в первом уравнении: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Получаем: $$(x + y)^2 (x - y) = 9$$ Пусть $u = x + y$, $w = x - y$. Тогда $x^2 + y^2 = \dfrac{u^2 + w^2}{2}$. Система принимает вид: $$\begin{cases} u^2 w = 9, \\ w \cdot \dfrac{u^2 + w^2}{2} = 5 \end{cases}$$ Преобразуем второе уравнение: $$w(u^2 + w^2) = 10 \implies u^2 w + w^3 = 10$$ Подставим $u^2 w = 9$: $$9 + w^3 = 10 \implies w^3 = 1 \implies w = 1$$ Подставим $w = 1$ в первое уравнение: $$u^2 \cdot 1 = 9 \implies u = \pm 3$$ Рассмотрим два случая: 1) $u = 3, w = 1$: $$\begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = 1 \end{cases} \implies 2x = 4 \implies x = 2, \quad y = 1$$ 2) $u = -3, w = 1$: $$\begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = 1 \end{cases} \implies 2x = -2 \implies x = -1, \quad y = -2$$ **Ответ:** $(2; 1), (-1; -2)$. --- ### 8) $$\begin{cases} xy + 24 = \dfrac{x^3}{y}, \\ xy - 6 = \dfrac{y^3}{x} \end{cases}$$ Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Умножим первое уравнение на $y$, а второе — на $x$: $$\begin{cases} xy^2 + 24y = x^3, \\ x^2y - 6x = y^3 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x^2 - y^2) = 24y, \\ y(x^2 - y^2) = 6x \end{cases}$$ Если $x^2 - y^2 = 0$, то $24y = 0 \implies y = 0$, что невозможно по ОДЗ. Значит, $x^2 - y^2 \neq 0$. Разделим первое уравнение на второе: $$\frac{x(x^2 - y^2)}{y(x^2 - y^2)} = \frac{24y}{6x}$$ $$\frac{x}{y} = \frac{4y}{x} \implies x^2 = 4y^2$$ Подставим $x^2 = 4y^2$ в выражение $x^2 - y^2$: $$x^2 - y^2 = 4y^2 - y^2 = 3y^2$$ Подставим $x^2 - y^2 = 3y^2$ во второе уравнение системы: $$y \cdot 3y^2 = 6x \implies 3y^3 = 6x \implies x = \frac{1}{2}y^3$$ Подставим $x = \frac{1}{2}y^3$ в равенство $x^2 = 4y^2$: $$\left(\frac{1}{2}y^3\right)^2 = 4y^2 \implies \frac{1}{4}y^6 = 4y^2 \implies y^6 - 16y^2 = 0$$ Так как $y \neq 0$, разделим на $y^2$: $$y^4 = 16 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$$ Найдем соответствующие значения $x$ из равенства $x = \frac{1}{2}y^3$: - При $y = 2$: $x = \frac{1}{2} \cdot 2^3 = 4$. - При $y = -2$: $x = \frac{1}{2} \cdot (-2)^3 = -4$. **Ответ:** $(4; 2), (-4; -2)$.