ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 885

1) Выполним сложение дробей последовательно, группируя слагаемые справа налево. Сложим две последние дроби: $$ \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} = \frac{1-x + 1+x}{(1+x)(1-x)} = \frac{2}{1-x^2} $$ Сложим полученный результат со второй дробью: $$ \frac{2}{1+x^2} + \frac{2}{1-x^2} = \frac{2(1-x^2) + 2(1+x^2)}{(1+x^2)(1-x^2)} = \frac{2 - 2x^2 + 2 + 2x^2}{1-x^4} = \frac{4}{1-x^4} $$ Прибавим первую дробь: $$ \frac{4}{1+x^4} + \frac{4}{1-x^4} = \frac{4(1-x^4) + 4(1+x^4)}{(1+x^4)(1-x^4)} = \frac{4 - 4x^4 + 4 + 4x^4}{1-x^8} = \frac{8}{1-x^8} $$ Ответ: $\frac{8}{1-x^8}$. --- 2) Приведем все дроби к общему знаменателю $(a+b)(b+c)(a+c)$: $$ \frac{a^2 - bc}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2 - ac}{(b+c)(a+b)} + \frac{c^2 - ab}{(a+c)(b+c)} = \frac{(a^2-bc)(b+c) + (b^2-ac)(a+c) + (c^2-ab)(a+b)}{(a+b)(b+c)(a+c)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (a^2 - bc)(b + c) = a^2b + a^2c - b^2c - bc^2 $$ $$ (b^2 - ac)(a + c) = ab^2 + b^2c - a^2c - ac^2 $$ $$ (c^2 - ab)(a + b) = ac^2 + bc^2 - a^2b - ab^2 $$ Сложим полученные выражения: $$ a^2b + a^2c - b^2c - bc^2 + ab^2 + b^2c - a^2c - ac^2 + ac^2 + bc^2 - a^2b - ab^2 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ (a^2b - a^2b) + (a^2c - a^2c) + (ab^2 - ab^2) + (b^2c - b^2c) + (bc^2 - bc^2) + (ac^2 - ac^2) = 0 $$ Так как числитель равен нулю, вся дробь равна нулю: $$ \frac{0}{(a+b)(b+c)(a+c)} = 0 $$ Ответ: $0$. --- 3) Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты: $$ x + 2\sqrt{x-1} = (x - 1) + 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 + 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} + 1)^2 $$ $$ x - 2\sqrt{x-1} = (x - 1) - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 - 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2 $$ Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, запишем выражение в виде: $$ \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = |\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} - 1| $$ Раскроем модули с учетом условия $1 \leqslant x < 2$: - Так как $x \geqslant 1$, то $\sqrt{x-1} \geqslant 0$, откуда $\sqrt{x-1} + 1 > 0$, следовательно, $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$. - Так как $1 \leqslant x < 2$, вычитая $1$, получаем $0 \leqslant x - 1 < 1$, следовательно, $0 \leqslant \sqrt{x-1} < 1$. Отсюда $\sqrt{x-1} - 1 < 0$, поэтому $|\sqrt{x-1} - 1| = -(\sqrt{x-1} - 1) = 1 - \sqrt{x-1}$. Подставим полученные значения: $$ (\sqrt{x-1} + 1) + (1 - \sqrt{x-1}) = \sqrt{x-1} + 1 + 1 - \sqrt{x-1} = 2 $$ Ответ: $2$. --- 4) Выразим $m+x$ и $m-x$, подставив $x = \frac{2mn}{n^2+1}$: $$ m + x = m + \frac{2mn}{n^2+1} = \frac{m(n^2+1) + 2mn}{n^2+1} = \frac{m(n^2 + 2n + 1)}{n^2+1} = \frac{m(n+1)^2}{n^2+1} $$ $$ m - x = m - \frac{2mn}{n^2+1} = \frac{m(n^2+1) - 2mn}{n^2+1} = \frac{m(n^2 - 2n + 1)}{n^2+1} = \frac{m(n-1)^2}{n^2+1} $$ Извлечем квадратные корни, учитывая, что $m > 0$ и $0 < n < 1$ (значит, $n+1 > 0$, а $n-1 < 0$, то есть $|n-1| = 1-n$): $$ \sqrt{m+x} = \sqrt{\frac{m(n+1)^2}{n^2+1}} = \frac{\sqrt{m} \cdot |n+1|}{\sqrt{n^2+1}} = \frac{\sqrt{m}(n+1)}{\sqrt{n^2+1}} $$ $$ \sqrt{m-x} = \sqrt{\frac{m(n-1)^2}{n^2+1}} = \frac{\sqrt{m} \cdot |n-1|}{\sqrt{n^2+1}} = \frac{\sqrt{m}(1-n)}{\sqrt{n^2+1}} $$ Найдем числитель и знаменатель исходной дроби: $$ \sqrt{m+x} + \sqrt{m-x} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n^2+1}} \cdot ((n+1) + (1-n)) = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n^2+1}} \cdot 2 $$ $$ \sqrt{m+x} - \sqrt{m-x} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n^2+1}} \cdot ((n+1) - (1-n)) = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n^2+1}} \cdot 2n $$ Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{\sqrt{m+x} + \sqrt{m-x}}{\sqrt{m+x} - \sqrt{m-x}} = \frac{\frac{2\sqrt{m}}{\sqrt{n^2+1}}}{\frac{2n\sqrt{m}}{\sqrt{n^2+1}}} = \frac{2}{2n} = \frac{1}{n} $$ Ответ: $\frac{1}{n}$.