ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 882

Разложим данное выражение на множители. Для этого раскроем скобки: $$ a^2(c - b) + b^2(a - c) + c^2(b - a) = a^2c - a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 - ac^2 $$ Сгруппируем слагаемые относительно переменной $c$: $$ (bc^2 - ac^2) + (a^2c - b^2c) - (a^2b - ab^2) = -c^2(a - b) + c(a^2 - b^2) - ab(a - b) $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ -c^2(a - b) + c(a - b)(a + b) - ab(a - b) $$ Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки: $$ (a - b)\bigl(-c^2 + c(a + b) - ab\bigr) = (a - b)(-c^2 + ac + bc - ab) $$ Сгруппируем слагаемые во второй скобке: $$ -c^2 + ac + bc - ab = -c(c - a) + b(c - a) = (b - c)(c - a) $$ Таким образом, исходное выражение принимает вид: $$ a^2(c - b) + b^2(a - c) + c^2(b - a) = (a - b)(b - c)(c - a) $$ По условию числа $a$, $b$, $c$ попарно не равны между собой, значит: - $a \neq b$, следовательно, $a - b \neq 0$; - $b \neq c$, следовательно, $b - c \neq 0$; - $c \neq a$, следовательно, $c - a \neq 0$. Так как ни один из сомножителей не равен нулю, их произведение также не равно нулю: $$ (a - b)(b - c)(c - a) \neq 0 $$ Следовательно, исходное выражение не равно нулю, что и требовалось доказать.