ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 857

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 0. Определим, какой цифрой оканчивается каждое слагаемое суммы $11^{11} + 12^{12} + 13^{13}$. 1. Последняя цифра числа $11^{11}$: Число 11 оканчивается цифрой 1. При возведении любого числа, оканчивающегося на 1, в натуральную степень получается число, оканчивающееся на 1: $$ 1^n = 1 $$ Значит, число $11^{11}$ оканчивается цифрой 1. 2. Последняя цифра числа $12^{12}$: Последняя цифра степени определяется последней цифрой основания, то есть цифрой 2. Рассмотрим, как меняется последняя цифра степени числа 2: - $2^1 = 2$ (оканчивается на 2); - $2^2 = 4$ (оканчивается на 4); - $2^3 = 8$ (оканчивается на 8); - $2^4 = 16$ (оканчивается на 6); - $2^5 = 32$ (оканчивается на 2) и далее цифры повторяются с периодом 4. Разделим показатель степени на длину периода: $$ 12 = 4 \cdot 3 $$ Так как показатель 12 делится на 4 без остатка, число $12^{12}$ оканчивается на ту же цифру, что и $2^4$, то есть на цифру 6. 3. Последняя цифра числа $13^{13}$: Последняя цифра степени определяется последней цифрой числа 3. Рассмотрим степени тройки: - $3^1 = 3$ (оканчивается на 3); - $3^2 = 9$ (оканчивается на 9); - $3^3 = 27$ (оканчивается на 7); - $3^4 = 81$ (оканчивается на 1); - $3^5 = 243$ (оканчивается на 3) и далее цифры повторяются с периодом 4. Разделим показатель степени на длину периода: $$ 13 = 4 \cdot 3 + 1 $$ Остаток равен 1, следовательно, число $13^{13}$ оканчивается на ту же цифру, что и $3^1$, то есть на цифру 3. 4. Найдем последнюю цифру всей суммы: Сложим последние цифры слагаемых: $$ 1 + 6 + 3 = 10 $$ Следовательно, сумма $11^{11} + 12^{12} + 13^{13}$ оканчивается цифрой 0, а значит, делится на 10, что и требовалось доказать.