ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 842

**1)** Освободимся от иррациональности в знаменателе дроби: $$ \frac{\sqrt{78} - \sqrt{13}}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} $$ Переставим слагаемые в знаменателе от большего к меньшему: $\sqrt{5} + \sqrt{6} = \sqrt{6} + \sqrt{5}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое знаменателю, то есть на $(\sqrt{6} - \sqrt{5})$: $$ \frac{\sqrt{78} - \sqrt{13}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{78} - \sqrt{13})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} $$ В знаменателе применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$: $$ (\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1 $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (\sqrt{78} - \sqrt{13})(\sqrt{6} - \sqrt{5}) = \sqrt{78} \cdot \sqrt{6} - \sqrt{78} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{13} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{13} \cdot \sqrt{5} $$ Упростим каждое слагаемое, учитывая, что $78 = 13 \cdot 6$: * $\sqrt{78} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{13 \cdot 6 \cdot 6} = 6\sqrt{13}$; * $\sqrt{78} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{390}$; * $\sqrt{13} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{78}$; * $\sqrt{13} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{65}$. Получаем: $$ \frac{6\sqrt{13} - \sqrt{390} - \sqrt{78} + \sqrt{65}}{1} = 6\sqrt{13} - \sqrt{390} - \sqrt{78} + \sqrt{65} $$ Ответ: $6\sqrt{13} - \sqrt{390} - \sqrt{78} + \sqrt{65}$ (или $\sqrt{13}(6 - \sqrt{30} - \sqrt{6} + \sqrt{5})$). --- **2)** Освободимся от иррациональности в знаменателе дроби: $$ \frac{\sqrt{99} - \sqrt{13}}{\sqrt{89} - \sqrt{3}} $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое знаменателю выражение $(\sqrt{89} + \sqrt{3})$: $$ \frac{\sqrt{99} - \sqrt{13}}{\sqrt{89} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{99} - \sqrt{13})(\sqrt{89} + \sqrt{3})}{(\sqrt{89} - \sqrt{3})(\sqrt{89} + \sqrt{3})} $$ В знаменателе применим формулу разности квадратов: $$ (\sqrt{89} - \sqrt{3})(\sqrt{89} + \sqrt{3}) = (\sqrt{89})^2 - (\sqrt{3})^2 = 89 - 3 = 86 $$ Преобразуем корень в числителе: $\sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = 3\sqrt{11}$. Раскроем скобки в числителе: $$ (3\sqrt{11} - \sqrt{13})(\sqrt{89} + \sqrt{3}) = 3\sqrt{11} \cdot \sqrt{89} + 3\sqrt{11} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{13} \cdot \sqrt{89} - \sqrt{13} \cdot \sqrt{3} $$ $$ = 3\sqrt{979} + 3\sqrt{33} - \sqrt{1157} - \sqrt{39} $$ Итоговая дробь: $$ \frac{3\sqrt{979} + 3\sqrt{33} - \sqrt{1157} - \sqrt{39}}{86} $$ Ответ: $\frac{3\sqrt{979} + 3\sqrt{33} - \sqrt{1157} - \sqrt{39}}{86}$.