ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 788

1) Упростим выражение по действиям: $$\left(\frac{a+1}{\sqrt{a-1}} - \sqrt{a+1}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a-1}}\right)$$ Выполним вычитание в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $\sqrt{a-1}$: $$\frac{a+1}{\sqrt{a-1}} - \sqrt{a+1} = \frac{a+1 - \sqrt{a+1}\cdot\sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}} = \frac{a+1 - \sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a-1}}$$ Вынесем общий множитель $\sqrt{a+1}$ в числителе, учитывая, что $a+1 = (\sqrt{a+1})^2$: $$\frac{\sqrt{a+1}(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1})}{\sqrt{a-1}}$$ Выполним вычитание во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $\sqrt{a+1}\cdot\sqrt{a-1}$: $$\frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a-1}} = \frac{\sqrt{a-1} - \sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}} = -\frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}}$$ Выполним деление, заменив его умножением на взаимно обратную дробь: $$\frac{\sqrt{a+1}(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1})}{\sqrt{a-1}} : \left(-\frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}}\right) = \frac{\sqrt{a+1}(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1})}{\sqrt{a-1}} \cdot \left(-\frac{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}}\right)$$ Сократим дробь на общий множитель $\sqrt{a-1}(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1})$: $$= -\sqrt{a+1} \cdot \sqrt{a+1} = -(a+1) = -a - 1$$ Ответ: $-a - 1$. --- 2) Упростим выражение: $$\left(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{a+1}}\right): \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}}$$ Преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю по формуле разности квадратов $(\sqrt{a} + \sqrt{a+1})(\sqrt{a} - \sqrt{a+1})$: $$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{a+1}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{a+1}) - (\sqrt{a} + \sqrt{a+1})}{(\sqrt{a} + \sqrt{a+1})(\sqrt{a} - \sqrt{a+1})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a+1} - \sqrt{a} - \sqrt{a+1}}{a - (a+1)} = \frac{-2\sqrt{a+1}}{-1} = 2\sqrt{a+1}$$ Выполним деление: $$2\sqrt{a+1} : \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} = 2\sqrt{a+1} \cdot \frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}} = 2\sqrt{a-1}$$ Ответ: $2\sqrt{a-1}$. --- 3) Упростим выражение: $$\left(\frac{1}{\sqrt{1-a}} - \sqrt{1+a}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{1-a^2}} - 1\right)$$ Выполним вычитание в первых скобках: $$\frac{1}{\sqrt{1-a}} - \sqrt{1+a} = \frac{1 - \sqrt{1+a}\cdot\sqrt{1-a}}{\sqrt{1-a}} = \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}}$$ Выполним вычитание во вторых скобках: $$\frac{1}{\sqrt{1-a^2}} - 1 = \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a^2}}$$ Выполним деление дробей: $$\frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}} : \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a^2}} = \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}} \cdot \frac{\sqrt{1-a^2}}{1 - \sqrt{1-a^2}} = \frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}}$$ Так как $\sqrt{1-a^2} = \sqrt{(1-a)(1+a)} = \sqrt{1-a}\cdot\sqrt{1+a}$, получаем: $$\frac{\sqrt{1-a}\cdot\sqrt{1+a}}{\sqrt{1-a}} = \sqrt{1+a}$$ Ответ: $\sqrt{1+a}$. --- 4) Упростим выражение: $$\left(\frac{a+1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{a-\sqrt{a}} - \frac{a}{1+\sqrt{a}}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}-a\sqrt{3}}{a+1}$$ Разложим знаменатели дробей в скобках на множители: - $a - \sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)$; - $1 + \sqrt{a} = \sqrt{a} + 1$. Общий знаменатель для дробей в скобках равен $\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1) = \sqrt{a}(a - 1)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{(a+1)(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1) + (\sqrt{a}+1) - a\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(a-1)} = \frac{(a+1)(a-1) + \sqrt{a} + 1 - a^2 + a\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-1)}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{a^2 - 1 + \sqrt{a} + 1 - a^2 + a\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-1)} = \frac{a\sqrt{a} + \sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-1)} = \frac{\sqrt{a}(a+1)}{\sqrt{a}(a-1)} = \frac{a+1}{a-1}$$ Во втором множителе вынесем общий множитель $-\sqrt{3}$ в числителе: $$\frac{\sqrt{3} - a\sqrt{3}}{a+1} = \frac{-\sqrt{3}(a-1)}{a+1}$$ Выполним умножение: $$\frac{a+1}{a-1} \cdot \frac{-\sqrt{3}(a-1)}{a+1} = -\sqrt{3}$$ Ответ: $-\sqrt{3}$.