ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 763

**1)** $(x-5)(x+3)>0$ Найдём нули функции $f(x) = (x-5)(x+3)$: $$ (x-5)(x+3)=0 $$ $$ x - 5 = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0 $$ $$ x_1 = 5, \quad x_2 = -3 $$ Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки $-3$ и $5$ будут выколотыми. Они разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 5)$, $(5; +\infty)$. Определим знаки выражения на каждом интервале: * при $x \in (5; +\infty)$, например $x = 6$: $(6-5)(6+3) = 1 \cdot 9 > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-3; 5)$, например $x = 0$: $(0-5)(0+3) = -5 \cdot 3 < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-\infty; -3)$, например $x = -4$: $(-4-5)(-4+3) = -9 \cdot (-1) > 0$ (знак «$+$»). Нам подходят промежутки, где выражение строго больше нуля. Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty)$. --- **2)** $(x+15)(x+4)<0$ Найдём нули функции $f(x) = (x+15)(x+4)$: $$ (x+15)(x+4)=0 $$ $$ x + 15 = 0 \quad \text{или} \quad x + 4 = 0 $$ $$ x_1 = -15, \quad x_2 = -4 $$ Отметим выколотые точки $-15$ и $-4$ на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -15)$, $(-15; -4)$, $(-4; +\infty)$. Определим знаки выражения на интервалах: * при $x \in (-4; +\infty)$, например $x = 0$: $(0+15)(0+4) > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-15; -4)$, например $x = -5$: $(-5+15)(-5+4) = 10 \cdot (-1) < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-\infty; -15)$, например $x = -16$: $(-16+15)(-16+4) = -1 \cdot (-12) > 0$ (знак «$+$»). Нам подходит промежуток, где выражение строго меньше нуля. Ответ: $x \in (-15; -4)$. --- **3)** $(x-7)(x+11)\leqslant 0$ Найдём нули функции $f(x) = (x-7)(x+11)$: $$ (x-7)(x+11)=0 $$ $$ x - 7 = 0 \quad \text{или} \quad x + 11 = 0 $$ $$ x_1 = 7, \quad x_2 = -11 $$ Так как неравенство нестрогое, отметим закрашенные точки $-11$ и $7$ на числовой прямой. Они образуют промежутки: $(-\infty; -11]$, $[-11; 7]$, $[7; +\infty)$. Определим знаки выражения: * при $x \in (7; +\infty)$, например $x = 8$: $(8-7)(8+11) > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-11; 7)$, например $x = 0$: $(0-7)(0+11) < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-\infty; -11)$, например $x = -12$: $(-12-7)(-12+11) = -19 \cdot (-1) > 0$ (знак «$+$»). Выражение меньше или равно нулю на отрезке между корнями, включая сами корни. Ответ: $x \in [-11; 7]$. --- **4)** $(x-12)(x-13)\geqslant 0$ Найдём нули функции $f(x) = (x-12)(x-13)$: $$ (x-12)(x-13)=0 $$ $$ x - 12 = 0 \quad \text{или} \quad x - 13 = 0 $$ $$ x_1 = 12, \quad x_2 = 13 $$ Так как неравенство нестрогое, отметим закрашенные точки $12$ и $13$ на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на промежутки: $(-\infty; 12]$, $[12; 13]$, $[13; +\infty)$. Определим знаки выражения: * при $x \in (13; +\infty)$, например $x = 14$: $(14-12)(14-13) > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (12; 13)$, например $x = 12{,}5$: $(12{,}5-12)(12{,}5-13) = 0{,}5 \cdot (-0{,}5) < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-\infty; 12)$, например $x = 0$: $(0-12)(0-13) > 0$ (знак «$+$»). Нам подходят промежутки, где выражение больше или равно нулю. Ответ: $x \in (-\infty; 12] \cup [13; +\infty)$.