ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 759

Графиком каждой из данных квадратичных функций является парабола. Так как старший коэффициент при $x^2$ во всех пунктах равен $1$ ($a > 0$), ветви всех парабол направлены вверх. Для построения параболы находим координаты её вершины по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$, ось симметрии $x = x_0$, точки пересечения с осями координат и дополнительные точки. --- ### 1) $y = x^2 + 6x + 9$ Запишем функцию в виде квадрата двучлена: $$ y = (x + 3)^2 $$ 1. Координаты вершины: $$ x_0 = -3, \quad y_0 = 0 $$ Вершина находится в точке $(-3; 0)$. 2. Ось симметрии параболы: прямая $x = -3$. 3. Точки пересечения с осями координат: - с осью $Ox$ ($y = 0$): $(-3; 0)$ — парабола касается оси абсцисс в вершине; - с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = 0^2 + 6 \cdot 0 + 9 = 9$, получаем точку $(0; 9)$. 4. Таблица значений для построения: | $x$ | $-6$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | *Построение:* отмечаем на координатной плоскости вершину $(-3; 0)$ и найденные точки, плавно соединяем их линией параболы с ветвями, направленными вверх. --- ### 2) $y = x^2 - \frac{7}{2}$ 1. Координаты вершины: $$ x_0 = 0, \quad y_0 = -\frac{7}{2} = -3{,}5 $$ Вершина находится в точке $(0; -3{,}5)$. 2. Ось симметрии параболы: прямая $x = 0$ (ось $Oy$). 3. Точки пересечения с осями координат: - с осью $Oy$ ($x = 0$): $(0; -3{,}5)$; - с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x^2 - 3{,}5 = 0 \implies x^2 = 3{,}5 \implies x = \pm\sqrt{3{,}5} \approx \pm 1{,}87 $$ Точки пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{3{,}5}; 0)$ и $(\sqrt{3{,}5}; 0)$. 4. Таблица значений для построения: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $5{,}5$ | $0{,}5$ | $-2{,}5$ | $-3{,}5$ | $-2{,}5$ | $0{,}5$ | $5{,}5$ | *Построение:* строим параболу $y = x^2$ со сдвигом на $3{,}5$ единицы вниз по оси $Oy$. --- ### 3) $y = x^2 - 12x + 4$ 1. Координаты вершины: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = 6 $$ $$ y_0 = 6^2 - 12 \cdot 6 + 4 = 36 - 72 + 4 = -32 $$ Вершина находится в точке $(6; -32)$. 2. Ось симметрии параболы: прямая $x = 6$. 3. Точки пересечения с осями координат: - с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = 4$, получаем точку $(0; 4)$; - с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x^2 - 12x + 4 = 0 $$ $$ D_1 = (-6)^2 - 1 \cdot 4 = 36 - 4 = 32 $$ $$ x = 6 \pm \sqrt{32} = 6 \pm 4\sqrt{2} \quad (x_1 \approx 0{,}34; \; x_2 \approx 11{,}66) $$ 4. Таблица значений для построения: | $x$ | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ | $12$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $4$ | $-16$ | $-28$ | $-32$ | $-28$ | $-16$ | $4$ | *Построение:* выбираем удобный масштаб (например, по оси $Ox$: $1$ клетка = $1$ единица, по оси $Oy$: $1$ клетка = $4$ или $8$ единиц), отмечаем вершину $(6; -32)$, точки пересечения с осями и вспомогательные точки, соединяем их плавной линией. --- ### 4) $y = x^2 + 3x - 1$ 1. Координаты вершины: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5 $$ $$ y_0 = (-1{,}5)^2 + 3(-1{,}5) - 1 = 2{,}25 - 4{,}5 - 1 = -3{,}25 $$ Вершина находится в точке $(-1{,}5; -3{,}25)$. 2. Ось симметрии параболы: прямая $x = -1{,}5$. 3. Точки пересечения с осями координат: - с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = -1$, точка $(0; -1)$; - с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x^2 + 3x - 1 = 0 $$ $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13 $$ $$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2} \quad (x_1 \approx 0{,}3; \; x_2 \approx -3{,}3) $$ 4. Таблица значений для построения: | $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1{,}5$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $3$ | $-1$ | $-3$ | $-3{,}25$ | $-3$ | $-1$ | $3$ | *Построение:* отмечаем вершину $(-1{,}5; -3{,}25)$ и симметричные точки, соединяем плавной кривой. --- ### 5) $y = x^2 + x$ 1. Координаты вершины: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0{,}5 $$ $$ y_0 = (-0{,}5)^2 + (-0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}25 $$ Вершина находится в точке $(-0{,}5; -0{,}25)$. 2. Ось симметрии параболы: прямая $x = -0{,}5$. 3. Точки пересечения с осями координат: - с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1, \; x_2 = 0 $$ Точки пересечения: $(-1; 0)$ и $(0; 0)$; - с осью $Oy$: точка $(0; 0)$ (начало координат). 4. Таблица значений для построения: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $6$ | $2$ | $0$ | $-0{,}25$ | $0$ | $2$ | $6$ | *Построение:* отмечаем вершину $(-0{,}5; -0{,}25)$, нули функции $(-1; 0)$ и $(0; 0)$, дополнительные точки $(-2; 2)$, $(1; 2)$ и проводим параболу. --- ### 6) $y = x^2 - x$ 1. Координаты вершины: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0{,}5 $$ $$ y_0 = (0{,}5)^2 - 0{,}5 = 0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}25 $$ Вершина находится в точке $(0{,}5; -0{,}25)$. 2. Ось симметрии параболы: прямая $x = 0{,}5$. 3. Точки пересечения с осями координат: - с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x(x - 1) = 0 \implies x_1 = 0, \; x_2 = 1 $$ Точки пересечения: $(0; 0)$ и $(1; 0)$; - с осью $Oy$: точка $(0; 0)$. 4. Таблица значений для построения: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $6$ | $2$ | $0$ | $-0{,}25$ | $0$ | $2$ | $6$ | *Построение:* наносим вершину $(0{,}5; -0{,}25)$, точки $(0; 0)$, $(1; 0)$, $(-1; 2)$, $(2; 2)$ и соединяем их плавной линией. --- ### 7) $y = (x - 2)(x + 5)$ Раскроем скобки: $$ y = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10 $$ 1. Координаты вершины: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5 $$ $$ y_0 = (-1{,}5 - 2)(-1{,}5 + 5) = -3{,}5 \cdot 3{,}5 = -12{,}25 $$ Вершина находится в точке $(-1{,}5; -12{,}25)$. 2. Ось симметрии параболы: прямая $x = -1{,}5$. 3. Точки пересечения с осями координат: - с осью $Ox$ ($y = 0$): из уравнения $(x - 2)(x + 5) = 0$ получаем $x_1 = 2$, $x_2 = -5$. Точки: $(-5; 0)$ и $(2; 0)$; - с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = -10$, точка $(0; -10)$. 4. Таблица значений для построения: | $x$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-1{,}5$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $-6$ | $-10$ | $-12{,}25$ | $-10$ | $-6$ | $0$ | *Построение:* наносим вершину $(-1{,}5; -12{,}25)$, точки пересечения с осью $Ox$ $(-5; 0)$ и $(2; 0)$, точки пересечения с осью $Oy$ $(0; -10)$ и симметричную ей $(-3; -10)$, проводим параболу. --- ### 8) $y = \left( x + \frac{1}{8} \right)(x + 4)$ Раскроем скобки: $$ y = x^2 + 4x + \frac{1}{8}x + \frac{1}{2} = x^2 + 4\frac{1}{8}x + \frac{1}{2} = x^2 + \frac{33}{8}x + \frac{1}{2} $$ 1. Точки пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ \left( x + \frac{1}{8} \right)(x + 4) = 0 \implies x_1 = -4, \; x_2 = -\frac{1}{8} = -0{,}125 $$ Точки пересечения: $(-4; 0)$ и $\left(-\frac{1}{8}; 0\right)$. 2. Координаты вершины: $$ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 - \frac{1}{8}}{2} = -\frac{33}{16} = -2\frac{1}{16} = -2{,}0625 $$ $$ y_0 = \left( -\frac{33}{16} + \frac{2}{16} \right)\left( -\frac{33}{16} + \frac{64}{16} \right) = \left(-\frac{31}{16}\right) \cdot \frac{31}{16} = -\frac{961}{256} = -3\frac{193}{256} \approx -3{,}75 $$ Вершина находится в точке $\left(-2\frac{1}{16}; -3\frac{193}{256}\right) \approx (-2{,}1; -3{,}8)$. 3. Точка пересечения с осью $Oy$ ($x = 0$): $$ y = \frac{1}{8} \cdot 4 = \frac{1}{2} = 0{,}5 \implies (0; 0{,}5) $$ 4. Таблица значений для построения: | $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $-2\frac{7}{8} = -2{,}875$ | $-3\frac{3}{4} = -3{,}75$ | $-2\frac{5}{8} = -2{,}625$ | $0{,}5$ | $5\frac{5}{8} = 5{,}625$ | *Построение:* отмечаем вершину $(\approx -2{,}1; \approx -3{,}8)$, точки пересечения с осями $(-4; 0)$, $(-0{,}125; 0)$, $(0; 0{,}5)$ и дополнительные точки таблицы, плавно соединяем их линией параболы.