ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 732

Пусть длина меньшей стороны прямоугольника равна $x$ см ($x > 0$). Тогда: * большая сторона прямоугольника равна $(x + 2)$ см; * площадь прямоугольника равна: $$S_{\text{пр}} = x(x + 2)\text{ см}^2;$$ * периметр прямоугольника равен: $$P = 2(x + x + 2) = 2(2x + 2) = 4x + 4\text{ см}.$$ По условию сторона квадрата на $4$ см меньше периметра прямоугольника, то есть равна: $$(4x + 4) - 4 = 4x\text{ см}.$$ Площадь квадрата равна: $$S_{\text{кв}} = (4x)^2 = 16x^2\text{ см}^2.$$ Так как площадь прямоугольника равна площади квадрата, составим уравнение: $$ x(x + 2) = 16x^2 $$ Раскроем скобки и решим полученное неполное квадратное уравнение: $$ x^2 + 2x = 16x^2 $$ $$ 16x^2 - x^2 - 2x = 0 $$ $$ 15x^2 - 2x = 0 $$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(15x - 2) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$x_1 = 0$$ или $$15x - 2 = 0 \implies 15x = 2 \implies x_2 = \frac{2}{15}.$$ Корень $x = 0$ не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи, так как длина стороны должна быть положительным числом ($x > 0$). Значит: * меньшая сторона прямоугольника равна $\dfrac{2}{15}$ см; * большая сторона прямоугольника равна: $$\frac{2}{15} + 2 = 2\frac{2}{15}\text{ см}\quad \left(\text{или }\frac{32}{15}\text{ см}\right).$$ Ответ: $\dfrac{2}{15}$ см и $2\dfrac{2}{15}$ см.