ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 632

1) Построить график функции $y = |2x^2 - x - 1|$. График функции вида $y = |f(x)|$ получается из графика функции $y = f(x)$ следующим образом: * часть графика, лежащая выше оси $Ox$ и на ней, остаётся без изменений; * часть графика, лежащая ниже оси $Ox$, симметрично отражается вверх относительно оси $Ox$. Сначала построим график функции $f(x) = 2x^2 - x - 1$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 2 > 0$. 1. Найдём координаты вершины параболы: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$ $$y_в = f(0{,}25) = 2 \cdot (0{,}25)^2 - 0{,}25 - 1 = 2 \cdot 0{,}0625 - 0{,}25 - 1 = 0{,}125 - 1{,}25 = -1{,}125$$ Вершина параболы — точка $(0{,}25; -1{,}125)$. 2. Найдём точки пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$): $$2x^2 - x - 1 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ $$x_1 = \frac{1 - 3}{4} = -0{,}5, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$$ Точки пересечения с осью абсцисс: $(-0{,}5; 0)$ и $(1; 0)$. 3. Точка пересечения с осью $Oy$ ($x = 0$): $$y = 2 \cdot 0^2 - 0 - 1 = -1 \implies (0; -1)$$ 4. Найдём дополнительные точки для $f(x) = 2x^2 - x - 1$: | $x$ | $-1{,}5$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0$ | $0{,}25$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $f(x)$ | $5$ | $2$ | $0$ | $-1$ | $-1{,}125$ | $0$ | $2$ | $5$ | 5. Применяем операцию модуля: Отражаем участок параболы на интервале $(-0{,}5; 1)$, где значения функции отрицательны, симметрично вверх относительно оси $Ox$. Вершина $(0{,}25; -1{,}125)$ переходит в точку $(0{,}25; 1{,}125)$, а точка $(0; -1)$ — в точку $(0; 1)$. Таблица значений для итоговой функции $y = |2x^2 - x - 1|$: | $x$ | $-1{,}5$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0$ | $0{,}25$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $5$ | $2$ | $0$ | $1$ | $1{,}125$ | $0$ | $2$ | $5$ | --- 2) Построить график функции $y = x^2 - 5|x| - 6$. Так как $x^2 = |x|^2$, функцию можно записать в виде $y = |x|^2 - 5|x| - 6$. Функция является чётной, так как: $$f(-x) = (-x)^2 - 5|-x| - 6 = x^2 - 5|x| - 6 = f(x)$$ Следовательно, график симметричен относительно оси ординат $Oy$. Для его построения достаточно построить график для $x \ge 0$, а затем отразить его симметрично относительно оси $Oy$ для $x < 0$. 1. При $x \ge 0$ модуль раскрывается со знаком «плюс»: $$y = x^2 - 5x - 6$$ Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$). 2. Найдём координаты вершины этой параболы: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2{,}5$$ $$y_в = (2{,}5)^2 - 5 \cdot 2{,}5 - 6 = 6{,}25 - 12{,}5 - 6 = -12{,}25$$ Вершина параболы (при $x \ge 0$) — точка $(2{,}5; -12{,}25)$. 3. Точки пересечения с осями координат при $x \ge 0$: * с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = -6$, точка $(0; -6)$; * с осью $Ox$ ($y = 0$): $$x^2 - 5x - 6 = 0$$ По теореме Виета: $x_1 = 6$, $x_2 = -1$. Так как рассматривается область $x \ge 0$, подходит только корень $x = 6$. Точка пересечения: $(6; 0)$. 4. Таблица значений для $x \ge 0$: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $2{,}5$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-6$ | $-10$ | $-12$ | $-12{,}25$ | $-12$ | $-10$ | $-6$ | $0$ | $8$ | 5. Отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси $Oy$ для $x < 0$. При $x < 0$ функция принимает вид $y = x^2 + 5x - 6$, её вершина находится в точке $(-2{,}5; -12{,}25)$, а точка пересечения с осью $Ox$ — $(-6; 0)$. Итоговая таблица значений функции $y = x^2 - 5|x| - 6$: | $x$ | $-7$ | $-6$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2{,}5$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $2{,}5$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $8$ | $0$ | $-6$ | $-10$ | $-12$ | $-12{,}25$ | $-12$ | $-10$ | $-6$ | $-10$ | $-12$ | $-12{,}25$ | $-12$ | $-10$ | $-6$ | $0$ | $8$ | График состоит из двух дуг парабол, соединяющихся в точке $(0; -6)$ на оси $Oy$ (в этой точке образуется излом).