ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 514

### 1) $$ \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1, \\ x + y = 4. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Приведем первое уравнение системы к общему знаменателю: $$ \frac{x + y}{xy} = 1 $$ Подставим значение $x + y = 4$ из второго уравнения: $$ \frac{4}{xy} = 1 \implies xy = 4 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 4, \\ xy = 4. \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 4t + 4 = 0 $$ $$ (t - 2)^2 = 0 \implies t = 2 $$ Следовательно, $x = 2$, $y = 2$. Найденные значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $(2; 2)$. --- ### 2) $$ \begin{cases} \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{3}{2}, \\ xy = 80. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x - y \neq 0$, то есть $x \neq y$. Преобразуем первое уравнение, используя основное свойство пропорции: $$ 2(x + y) = 3(x - y) $$ $$ 2x + 2y = 3x - 3y $$ $$ x = 5y $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ 5y \cdot y = 80 $$ $$ 5y^2 = 80 $$ $$ y^2 = 16 $$ Отсюда: $y_1 = 4$ или $y_2 = -4$. Найдем соответствующие значения $x$: - при $y_1 = 4$: $x_1 = 5 \cdot 4 = 20$; - при $y_2 = -4$: $x_2 = 5 \cdot (-4) = -20$. Обе пары удовлетворяют условию $x \neq y$. Ответ: $(20; 4)$, $(-20; -4)$. --- ### 3) $$ \begin{cases} x - y = 3, \\ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = -0,3. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Приведем второе уравнение к общему знаменателю: $$ \frac{y - x}{xy} = -0,3 $$ Так как из первого уравнения $x - y = 3$, то $y - x = -3$. Подставим это значение: $$ \frac{-3}{xy} = -0,3 $$ $$ xy = \frac{-3}{-0,3} = 10 $$ Составим систему: $$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 10. \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 3$, и подставим во второе: $$ (y + 3)y = 10 $$ $$ y^2 + 3y - 10 = 0 $$ По теореме Виета найдем корни: $y_1 = -5$, $y_2 = 2$. Найдем соответствующие значения $x$: - при $y_1 = -5$: $x_1 = -5 + 3 = -2$; - при $y_2 = 2$: $x_2 = 2 + 3 = 5$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $(-2; -5)$, $(5; 2)$. --- ### 4) $$ \begin{cases} x + y = 9, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 0,5. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Приведем второе уравнение к общему знаменателю: $$ \frac{x + y}{xy} = 0,5 $$ Подставим значение $x + y = 9$: $$ \frac{9}{xy} = 0,5 $$ $$ xy = \frac{9}{0,5} = 18 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 9, \\ xy = 18. \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 9t + 18 = 0 $$ Корни уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = 6$. Таким образом, получаем два решения: - $x_1 = 3$, $y_1 = 6$; - $x_2 = 6$, $y_2 = 3$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $(3; 6)$, $(6; 3)$.