ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 512

### 1) $$ \begin{cases} 2x - 3y = 1, \\ 2x^2 - xy - 3y^2 = 3. \end{cases} $$ Разложим левую часть второго уравнения на множители способом группировки: $$ 2x^2 - xy - 3y^2 = 2x^2 + 2xy - 3xy - 3y^2 = 2x(x + y) - 3y(x + y) = (2x - 3y)(x + y). $$ Подставим значение $2x - 3y = 1$ из первого уравнения во второе: $$ 1 \cdot (x + y) = 3 \implies x + y = 3. $$ Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 1, \\ x + y = 3. \end{cases} $$ Выразим $x$ из второго уравнения: $x = 3 - y$, и подставим в первое: $$ 2(3 - y) - 3y = 1, $$ $$ 6 - 2y - 3y = 1, $$ $$ -5y = -5, $$ $$ y = 1. $$ Найдем $x$: $$ x = 3 - 1 = 2. $$ **Ответ:** $(2; 1)$. --- ### 2) $$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 133, \\ x + y = 7. \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения по формуле суммы кубов: $$ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 133. $$ Так как $x + y = 7$, разделим обе части уравнения на $7$: $$ 7(x^2 - xy + y^2) = 133, $$ $$ x^2 - xy + y^2 = 19. $$ Выделим полный квадрат суммы в левой части: $$ (x + y)^2 - 3xy = 19. $$ Подставим $x + y = 7$: $$ 7^2 - 3xy = 19, $$ $$ 49 - 3xy = 19, $$ $$ 3xy = 30, $$ $$ xy = 10. $$ Составим систему: $$ \begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 10. \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 7t + 10 = 0$: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9, $$ $$ t_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5, \quad t_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2. $$ Таким образом, получаем две пары решений: 1) $x_1 = 2$, $y_1 = 5$; 2) $x_2 = 5$, $y_2 = 2$. **Ответ:** $(2; 5)$, $(5; 2)$. --- ### 3) $$ \begin{cases} 2x^2 - 2xy + x = -9, \\ 2y - 3x = 1. \end{cases} $$ Выразим слагаемое $2y$ из второго уравнения: $$ 2y = 3x + 1. $$ Заметим, что во втором слагаемом первого уравнения присутствует выражение $2y$: $$ 2x^2 - x \cdot (2y) + x = -9. $$ Подставим вместо $2y$ выражение $3x + 1$: $$ 2x^2 - x(3x + 1) + x = -9, $$ $$ 2x^2 - 3x^2 - x + x = -9, $$ $$ -x^2 = -9, $$ $$ x^2 = 9, $$ $$ x_1 = 3, \quad x_2 = -3. $$ Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{3x + 1}{2}$: 1) При $x_1 = 3$: $$ y_1 = \frac{3 \cdot 3 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5. $$ 2) При $x_2 = -3$: $$ y_2 = \frac{3 \cdot (-3) + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4. $$ **Ответ:** $(3; 5)$, $(-3; -4)$. --- ### 4) $$ \begin{cases} x^2 + 6xy + 8y^2 = 91, \\ x + 3y - 10 = 0. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим переменную $x$: $$ x = 10 - 3y. $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ (10 - 3y)^2 + 6y(10 - 3y) + 8y^2 = 91. $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 100 - 60y + 9y^2 + 60y - 18y^2 + 8y^2 = 91, $$ $$ 100 - y^2 = 91, $$ $$ y^2 = 100 - 91, $$ $$ y^2 = 9, $$ $$ y_1 = 3, \quad y_2 = -3. $$ Найдем значения $x$: 1) При $y_1 = 3$: $$ x_1 = 10 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1. $$ 2) При $y_2 = -3$: $$ x_2 = 10 - 3 \cdot (-3) = 10 + 9 = 19. $$ **Ответ:** $(1; 3)$, $(19; -3)$.