ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин практические и прикладные задачи / глава 5 - 5

Пусть вся работа по изготовлению деталей составляет $A$ деталей ($A > 0$). 1. Определим производительность каждой бригады (количество деталей, изготавливаемых за один день): * первая бригада делает $200$ деталей в день; * вторая бригада делает на $x$ деталей меньше, то есть $(200 - x)$ деталей в день; * третья бригада делает на $5x$ деталей больше первой, то есть $(200 + 5x)$ деталей в день. 2. Найдем совместную производительность бригад на каждом этапе: * первая и вторая бригады вместе изготавливают в день: $$ 200 + (200 - x) = 400 - x \text{ (дет.)}; $$ * все три бригады вместе изготавливают в день: $$ 200 + (200 - x) + (200 + 5x) = 600 + 4x \text{ (дет.)}. $$ 3. Найдем время, затраченное на выполнение каждого этапа работы: * на первом этапе первая и вторая бригады выполнили $\frac{1}{5}$ всей работы, то есть объем $\frac{A}{5}$. Время работы равно: $$ t_1 = \frac{\frac{A}{5}}{400 - x}; $$ * оставшаяся часть работы составляет $A - \frac{A}{5} = \frac{4A}{5}$. Эту часть выполнили три бригады вместе. Время работы равно: $$ t_2 = \frac{\frac{4A}{5}}{600 + 4x}. $$ 4. Общее время выполнения всей работы равно сумме $t_1 + t_2$: $$ t = t_1 + t_2 = \frac{\frac{A}{5}}{400 - x} + \frac{\frac{4A}{5}}{600 + 4x} $$ Вынесем общий множитель $\frac{A}{5}$ за скобки и сократим вторую дробь на $4$: $$ t = \frac{A}{5} \left( \frac{1}{400 - x} + \frac{4}{4(150 + x)} \right) = \frac{A}{5} \left( \frac{1}{400 - x} + \frac{1}{150 + x} \right) $$ Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $$ \frac{1}{400 - x} + \frac{1}{150 + x} = \frac{(150 + x) + (400 - x)}{(400 - x)(150 + x)} = \frac{550}{(400 - x)(150 + x)} $$ Тогда общее время: $$ t = \frac{A}{5} \cdot \frac{550}{(400 - x)(150 + x)} = \frac{110A}{-x^2 + 250x + 60\,000} $$ 5. Так как объем работы $A > 0$, числитель дроби $110A$ является постоянным положительным числом. Дробь принимает наименьшее значение тогда, когда её знаменатель принимает наибольшее значение. Рассмотрим функцию в знаменателе: $$ f(x) = -x^2 + 250x + 60\,000 $$ Графиком этой квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$). Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{250}{2 \cdot (-1)} = 125 $$ Значение $x = 125$ удовлетворяет условию задачи $0 < x < 200$. Таким образом, работа будет выполнена быстрее всего при $x = 125$. Ответ: $125$.