ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 414

1) $x^2 + bx + 4 = 0$ Левая часть уравнения должна представлять собой квадрат суммы: $$ (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 $$ Сравнивая с выражением $x^2 + bx + 4$, получаем: $a^2 = 4$, откуда $a = 2$ (так как по условию $b > 0$). Тогда коэффициент перед $x$ равен удвоенному произведению: $b = 2a = 2 \cdot 2 = 4$. Подставим найденное значение $b = 4$ в уравнение и решим его: $$ x^2 + 4x + 4 = 0 $$ $$ (x + 2)^2 = 0 $$ $$ x + 2 = 0 $$ $$ x = -2 $$ Ответ: $b = 4$; $x = -2$. --- 2) $x^2 - bx + 9 = 0$ Левая часть уравнения должна представлять собой квадрат разности: $$ (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 $$ Сравнивая с выражением $x^2 - bx + 9$, получаем: $a^2 = 9$, откуда $a = 3$ (так как $b > 0$). Тогда: $b = 2a = 2 \cdot 3 = 6$. Подставим $b = 6$ в уравнение и решим его: $$ x^2 - 6x + 9 = 0 $$ $$ (x - 3)^2 = 0 $$ $$ x - 3 = 0 $$ $$ x = 3 $$ Ответ: $b = 6$; $x = 3$. --- 3) $x^2 - 8x + b = 0$ Левая часть уравнения должна представлять собой квадрат разности: $$ (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 $$ Сравнивая с выражением $x^2 - 8x + b$, получаем: $2a = 8$, откуда $a = 4$. Тогда свободный член равен: $b = a^2 = 4^2 = 16$ (число положительное, условию $b > 0$ удовлетворяет). Подставим $b = 16$ в уравнение и решим его: $$ x^2 - 8x + 16 = 0 $$ $$ (x - 4)^2 = 0 $$ $$ x - 4 = 0 $$ $$ x = 4 $$ Ответ: $b = 16$; $x = 4$. --- 4) $x^2 + \frac{2}{3}x + b = 0$ Левая часть уравнения должна представлять собой квадрат суммы: $$ (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 $$ Сравнивая с выражением $x^2 + \frac{2}{3}x + b$, получаем: $2a = \frac{2}{3}$, откуда $a = \frac{1}{3}$. Тогда свободный член равен: $b = a^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ (число положительное, условию $b > 0$ удовлетворяет). Подставим $b = \frac{1}{9}$ в уравнение и решим его: $$ x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0 $$ $$ \left(x + \frac{1}{3}\right)^2 = 0 $$ $$ x + \frac{1}{3} = 0 $$ $$ x = -\frac{1}{3} $$ Ответ: $b = \frac{1}{9}$; $x = -\frac{1}{3}$.