ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин устные вопросы. параграф - 41

### 1. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью $Ox$ называются **нулями функции** (или корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$). --- ### 2. Точка координатной плоскости расположена выше оси абсцисс, если её ордината положительна ($y > 0$). Проверим ординаты данных точек: - $(0; 5)$: $y = 5 > 0$ — расположена выше оси $Ox$; - $(-3; -2)$: $y = -2 < 0$ — расположена ниже оси $Ox$; - $(4; -4)$: $y = -4 < 0$ — расположена ниже оси $Ox$; - $(6; 0)$: $y = 0$ — лежит на оси $Ox$; - $(-10; 1)$: $y = 1 > 0$ — расположена выше оси $Ox$. **Ответ:** выше оси абсцисс расположены точки $(0; 5)$ и $(-10; 1)$. --- ### 3. Точка координатной плоскости расположена ниже оси абсцисс, если её ордината отрицательна ($y < 0$). Проверим ординаты данных точек: - $(0; -3)$: $y = -3 < 0$ — расположена ниже оси $Ox$; - $(-8; 5)$: $y = 5 > 0$ — расположена выше оси $Ox$; - $(-7; 0)$: $y = 0$ — лежит на оси $Ox$; - $(6; 4)$: $y = 4 > 0$ — расположена выше оси $Ox$; - $(-9; -12)$: $y = -12 < 0$ — расположена ниже оси $Ox$. **Ответ:** ниже оси абсцисс расположены точки $(0; -3)$ и $(-9; -12)$. --- ### 4. Количество общих точек параболы $y = ax^2 + bx + c$ с осью абсцисс зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: - если $D > 0$, парабола имеет 2 общие точки с осью $Ox$; - если $D = 0$, парабола имеет 1 общую точку (касается оси $Ox$ в вершине); - если $D < 0$, парабола не имеет общих точек с осью $Ox$ (0 точек). 1) $y = x^2 + 2x + 1$ $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$$ Так как $D = 0$, парабола имеет **1 общую точку**. 2) $y = x^2 - 2x - 3$ $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$$ Так как $D > 0$, парабола имеет **2 общие точки**. 3) $y = -2x^2 + x + 5$ $$D = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 5 = 1 + 40 = 41 > 0$$ Так как $D > 0$, парабола имеет **2 общие точки**. 4) $y = -4x^2 + 4x - 1$ $$D = 4^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-1) = 16 - 16 = 0$$ Так как $D = 0$, парабола имеет **1 общую точку**. --- ### 5. Парабола имеет общие точки с осью $Ox$, если дискриминант соответствующего квадратного уравнения неотрицателен ($D \geqslant 0$). 1) $y = x^2 - 3x - 5$ $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29 > 0$$ Так как $D > 0$, парабола **имеет общие точки** с осью $Ox$ (две точки). 2) $y = x^2 - x + \frac{1}{4}$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = 1 - 1 = 0$$ Так как $D = 0$, парабола **имеет общую точку** с осью $Ox$ (одну точку касания). 3) $y = -x^2 + 2x + 4$ $$D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4 = 4 + 16 = 20 > 0$$ Так как $D > 0$, парабола **имеет общие точки** с осью $Ox$ (две точки). --- ### 6. 1) Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ не имеет решений, если ни одна точка параболы не лежит строго выше оси $Ox$, то есть все её точки лежат на оси $Ox$ или под ней ($y \leqslant 0$). **Ответ:** парабола должна быть расположена в **нижней полуплоскости** (не выше оси $Ox$, ветви направлены вниз: $a < 0$ и $D \leqslant 0$). 2) Неравенство $ax^2 + bx + c \leqslant 0$ не имеет решений, если ни одна точка параболы не лежит на оси $Ox$ или под ней, то есть все её значения строго положительны ($y > 0$). **Ответ:** вся парабола должна быть расположена строго в **верхней полуплоскости** (выше оси $Ox$, не касаясь и не пересекая её: $a > 0$ и $D < 0$). --- ### 7. 1) Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ выполняется при всех действительных значениях $x$, если каждая точка параболы лежит строго ниже оси $Ox$. **Ответ:** вся парабола должна быть расположена строго в **нижней полуплоскости** (ниже оси $Ox$, не пересекая её: $a < 0$ и $D < 0$). 2) Неравенство $ax^2 + bx + c \geqslant 0$ выполняется при всех действительных значениях $x$, если график параболы нигде не опускается ниже оси $Ox$. **Ответ:** парабола должна быть расположена в **верхней полуплоскости** (не ниже оси $Ox$, касание оси допускается: $a > 0$ и $D \leqslant 0$). --- ### 8. **Алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика:** 1. Определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента $a$: - если $a > 0$, то ветви направлены вверх; - если $a < 0$, то ветви направлены вниз. 2. Найти корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (нули функции) с помощью дискриминанта или теоремы Виета либо установить, что корней нет. 3. Схематически изобразить параболу относительно оси $Ox$, отметив точки пересечения с осью (если они есть). 4. По графику найти промежутки оси $Ox$, на которых точки параболы расположены: - выше оси $Ox$ — если решается неравенство со знаком $>$ (или $\geqslant$ с включением корней); - ниже оси $Ox$ — если решается неравенство со знаком $<$ (или $\leqslant$ с включением корней). 5. Записать полученные промежутки в ответ.