ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин вводные упражнения. параграфы - 2

### 1. Сравнить числа: 1) $\frac{8}{15} > \frac{7}{15}$ (из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, так как $8 > 7$). 2) $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$ (из двух положительных дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, так как $3 < 5$). 3) $\frac{5}{7}$ и $\frac{3}{8}$. Приведём дроби к общему знаменателю $56$: $$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 8}{56} = \frac{40}{56}$$ $$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 7}{56} = \frac{21}{56}$$ Так как $40 > 21$, то $\frac{40}{56} > \frac{21}{56}$, следовательно, $\frac{5}{7} > \frac{3}{8}$. 4) $0,351 > 0,3501$ (уравняем число знаков после запятой: $0,3510 > 0,3501$, так как в разряде тысячных $1 > 0$). 5) $1\frac{3}{7} > -1\frac{3}{7}$ (любое положительное число больше любого отрицательного). 6) $-5,409 > -5,709$ (из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше: $|-5,409| = 5,409$, $|-5,709| = 5,709$; так как $5,409 < 5,709$, то $-5,409 > -5,709$). --- ### 2. Какое из данных чисел расположено на числовой оси левее: На числовой оси левее расположено то число, которое меньше. 1) Сравним числа: $1,25 < 1,26$. Следовательно, левее расположено число $1,25$. 2) Сравним числа: так как $|-3,78| > |-3,08|$, то $-3,78 < -3,08$. Следовательно, левее расположено число $-3,78$. **Ответ:** 1) $1,25$; 2) $-3,78$. --- ### 3. Объяснить, почему $a^2 - (1 + 2a^2) < 0$ при любом $a$. Упростим выражение в левой части неравенства: раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$a^2 - (1 + 2a^2) = a^2 - 1 - 2a^2 = -a^2 - 1 = -(a^2 + 1)$$ Так как при любом значении $a$ квадрат числа неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то: $$a^2 + 1 \ge 1 > 0$$ Поскольку выражение в скобках $(a^2 + 1)$ строго положительно при любом $a$, противоположное ему число $-(a^2 + 1)$ всегда строго отрицательно: $$-(a^2 + 1) < 0$$ Таким образом, $a^2 - (1 + 2a^2) < 0$ при любом значении $a$, что и требовалось объяснить.