ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин устные вопросы. параграф - 36

1. График функции $y = x^2$ называется **параболой**. 2. Функция $y = x^2$ принимает положительные значения при всех $x \neq 0$, то есть при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. При любом $x \neq 0$ квадрат числа строго положителен ($x^2 > 0$), а при $x = 0$ значение функции равно нулю ($y = 0$), число $0$ не является положительным. 3. Парабола $y = x^2$ касается оси абсцисс в начале координат — в точке $(0; 0)$. 4. График функции $y = x^2$ симметричен относительно оси ординат, потому что противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции: $$ (-x)^2 = x^2 $$ Это означает, что если графику принадлежит точка $(x; y)$, то ему также принадлежит и точка $(-x; y)$, симметричная ей относительно оси $Oy$ (функция является чётной). 5. Вершиной параболы называют точку пересечения параболы с её осью симметрии. Для функции $y = x^2$ вершиной является точка $(0; 0)$. 6. Функция $y = x^2$: - убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ (при $x \le 0$); - возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ (при $x \ge 0$). **Обоснование:** Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента из рассматриваемого промежутка, такие, что $x_1 < x_2$. Разность соответствующих значений функции равна: $$ y_2 - y_1 = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) $$ Так как $x_1 < x_2$, то первый множитель положителен: $(x_2 - x_1) > 0$. - На промежутке $[0; +\infty)$: значения $x_1 \ge 0$ и $x_2 > 0$, поэтому сумма $(x_2 + x_1) > 0$. Произведение двух положительных множителей положительно: $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) > 0$, следовательно, $y_2 > y_1$. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции, значит, функция возрастает. - На промежутке $(-\infty; 0]$: значения $x_1 < 0$ и $x_2 \le 0$, поэтому сумма $(x_2 + x_1) < 0$. Произведение положительного и отрицательного множителей отрицательно: $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) < 0$, следовательно, $y_2 < y_1$. Большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, значит, функция убывает. 7. **Фокус параболы** — это фиксированная точка на оси симметрии параболы, обладающая свойством: лучи света, исходящие из этой точки, после отражения от внутренней поверхности параболы идут параллельно её оси симметрии (и наоборот, параллельный пучок лучей, падающий на зеркало в форме параболы, собирается в фокусе). В геометрии парабола определяется как множество всех точек плоскости, равноудалённых от фокуса и некоторой заданной прямой (директрисы). Для параболы $y = x^2$ фокус расположен в точке $(0; 0{,}25)$.