ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 338

1) Решим уравнение: $$ \frac{1}{\sqrt{(x-2)^2}} = x - 2 $$ Используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$: $$ \frac{1}{|x-2|} = x - 2 $$ Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, то $x - 2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$. Левая часть уравнения $\frac{1}{|x-2|}$ строго положительна при любом $x \ne 2$, значит, и правая часть должна быть положительной: $$ x - 2 > 0 \implies x > 2 $$ При $x > 2$ выражение под знаком модуля положительно, поэтому раскрываем модуль со знаком плюс: $|x-2| = x-2$. Уравнение принимает вид: $$ \frac{1}{x-2} = x - 2 $$ Умножим обе части уравнения на $(x-2)$: $$ (x-2)^2 = 1 $$ Отсюда получаем два возможных случая: - $x - 2 = 1 \implies x = 3$; - $x - 2 = -1 \implies x = 1$. С учетом условия $x > 2$, корень $x = 1$ не подходит. Проверим корень $x = 3$: $\frac{1}{\sqrt{(3-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1^2}} = 1$; $3 - 2 = 1$. $1 = 1$ — верно. **Ответ:** $x = 3$. --- 2) Решим уравнение: $$ \sqrt{(x-2)^2} = 2 - x $$ Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $$ |x-2| = 2 - x $$ Заметим, что правая часть уравнения равна знаку, противоположному подмодульному выражению: $2 - x = -(x - 2)$. По определению абсолютной величины $|a| = -a$ тогда и только тогда, когда $a \le 0$. Следовательно: $$ x - 2 \le 0 $$ $$ x \le 2 $$ Таким образом, равенство обращается в тождество при всех значениях $x \le 2$. **Ответ:** $x \le 2$ (или $x \in (-\infty; 2]$).