ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин устные вопросы. параграф - 28

1. Преобразуем правую часть равенства по правилу умножения целого числа на дробь и сократим полученную дробь на $2$ (используя основное свойство дроби): $$ 2 \cdot \frac{b}{2a} = \frac{2 \cdot b}{2a} = \frac{b}{a} $$ Так как правая часть равна левой, равенство $\frac{b}{a} = 2 \cdot \frac{b}{2a}$ верно при $a \neq 0$. 2. В учебнике уравнением (1) называется уравнение вида: $$ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $$ Обоснование этапов преобразования исходного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$): 1) Разделим обе части уравнения на коэффициент $a \neq 0$: $$ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 $$ *Обоснование:* если обе части уравнения разделить на одно и то же ненулевое число, то получится уравнение, равносильное данному. 2) Перенесём слагаемое $\frac{c}{a}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком: $$ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} $$ *Обоснование:* слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, при этом получается равносильное уравнение. 3) Представим $\frac{b}{a}x$ как удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a}$ и прибавим к обеим частям уравнения квадрат числа $\frac{b}{2a}$, то есть $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$: $$ x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} $$ *Обоснование:* если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, получится уравнение, равносильное данному. 4) Применим в левой части формулу квадрата суммы, а в правой части приведём дроби к общему знаменателю $4a^2$ (дополнительный множитель для второй дроби равен $4a$): $$ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $$ 3. Чтение формулы: «Икс первое, второе равно дроби: в числителе минус бэ плюс-минус квадратный корень из выражения бэ в квадрате минус четыре а цэ, в знаменателе два а». 4. Выражение $b^2 - 4ac$ называется **дискриминантом** квадратного уравнения. Обозначается заглавной латинской буквой **$D$**: $$ D = b^2 - 4ac $$ 5. Количество действительных корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: - уравнение **не имеет действительных корней**, если $D < 0$; - уравнение **имеет один корень** (два совпадающих корня), если $D = 0$; - уравнение **имеет два корня** (два различных действительных корня), если $D > 0$. 6. Пусть в квадратном уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ второй коэффициент четный, то есть $b = 2m$. Подставим $b = 2m$ в формулу дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4ac = 4m^2 - 4ac = 4(m^2 - ac) $$ Обозначим $D_1 = \frac{D}{4} = m^2 - ac$. Тогда $D = 4D_1$. Подставим эти значения в общую формулу корней: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2m \pm \sqrt{4D_1}}{2a} = \frac{-2m \pm 2\sqrt{D_1}}{2a} $$ Вынесем множитель $2$ за скобки в числителе и сократим дробь на $2$: $$ x = \frac{2(-m \pm \sqrt{D_1})}{2a} = \frac{-m \pm \sqrt{D_1}}{a} $$ Таким образом, если второй коэффициент равен $2m$, то формула корней имеет вид: $$ x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - ac}}{a} $$ при условии, что $m^2 - ac \ge 0$.