ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин устные вопросы. параграф - 23

1. **Теорема о корне из произведения двух неотрицательных чисел:** Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел. Если $a \geqslant 0$ и $b \geqslant 0$, то: $$ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $$ 2. **Теорема о корне из произведения нескольких неотрицательных чисел:** Корень из произведения нескольких неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел. Если $a_1 \geqslant 0$, $a_2 \geqslant 0$, ..., $a_n \geqslant 0$, то: $$ \sqrt{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n} = \sqrt{a_1} \cdot \sqrt{a_2} \cdot \dots \cdot \sqrt{a_n} $$ 3. Да, можно. По свойству арифметического квадратного корня, если числа $a$ и $b$ неотрицательны ($a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$), то произведение корней равно корню из их произведения: $$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $$ Это правило верно и для любого числа неотрицательных множителей. 4. Примеры: 1) Вынесение множителя из-под знака корня: $$ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} $$ 2) Внесение множителя под знак корня: $$ 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} $$ 5. Преобразования для сравнения выражений: 1) Для выражений $5\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7}$ удобно выполнить **внесение множителей под знак корня**: $$ 5\sqrt{5} = \sqrt{5^2 \cdot 5} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{125} $$ $$ 3\sqrt{7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63} $$ Так как $125 > 63$, то $\sqrt{125} > \sqrt{63}$, следовательно, $5\sqrt{5} > 3\sqrt{7}$. 2) Для выражений $2\sqrt{18}$ и $3\sqrt{8}$ можно выполнить: * Либо **вынесение множителя из-под знака корня**: $$ 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} $$ $$ 3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} $$ Так как $6\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$, то $2\sqrt{18} = 3\sqrt{8}$. * Либо **внесение множителя под знак корня**: $$ 2\sqrt{18} = \sqrt{2^2 \cdot 18} = \sqrt{4 \cdot 18} = \sqrt{72} $$ $$ 3\sqrt{8} = \sqrt{3^2 \cdot 8} = \sqrt{9 \cdot 8} = \sqrt{72} $$ Так как $\sqrt{72} = \sqrt{72}$, значения выражений равны.