ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.111

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $$ \frac{\left(\dfrac{1}{(a-b)^2} + \dfrac{2}{a^2 - b^2} + \dfrac{1}{(a+b)^2}\right) (a^2 - b^2)^2}{(a+b)^2 + 2(a^2 - b^2) + (a-b)^2} = 1 $$ **Шаг 1. Преобразуем числитель левой части** Умножим каждое слагаемое в скобках на множитель $(a^2 - b^2)^2$. Так как по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, то: $$ (a^2 - b^2)^2 = (a - b)^2(a + b)^2 $$ Выполним умножение по отдельности для каждого слагаемого: 1) $\dfrac{1}{(a-b)^2} \cdot (a^2 - b^2)^2 = \dfrac{(a-b)^2(a+b)^2}{(a-b)^2} = (a+b)^2$ 2) $\dfrac{2}{a^2 - b^2} \cdot (a^2 - b^2)^2 = 2(a^2 - b^2)$ 3) $\dfrac{1}{(a+b)^2} \cdot (a^2 - b^2)^2 = \dfrac{(a-b)^2(a+b)^2}{(a+b)^2} = (a-b)^2$ Сложим полученные результаты: $$ \left(\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{2}{a^2 - b^2} + \frac{1}{(a+b)^2}\right)(a^2 - b^2)^2 = (a+b)^2 + 2(a^2 - b^2) + (a-b)^2 $$ **Шаг 2. Подставим полученное выражение в дробь** Заменим числитель исходной дроби на преобразованное выражение: $$ \frac{(a+b)^2 + 2(a^2 - b^2) + (a-b)^2}{(a+b)^2 + 2(a^2 - b^2) + (a-b)^2} $$ Числитель и знаменатель дроби одинаковы. Сократив дробь на ненулевое выражение $(a+b)^2 + 2(a^2 - b^2) + (a-b)^2$, получаем: $$ \frac{(a+b)^2 + 2(a^2 - b^2) + (a-b)^2}{(a+b)^2 + 2(a^2 - b^2) + (a-b)^2} = 1 $$ *(Замечание: выражение в числителе и знаменателе также можно упростить, раскрыв скобки:* $(a^2 + 2ab + b^2) + (2a^2 - 2b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = 4a^2$, откуда $\dfrac{4a^2}{4a^2} = 1$*).* **Вывод:** Левая часть тождества равна правой части: $$ 1 = 1 $$ Тождество доказано при всех допустимых значениях переменных ($a \neq \pm b$, $a \neq 0$).