ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.137

Чтобы найти количество точек пересечения графиков функций $y = ax^2$ и $y = bx^3$, а также их координаты, составим и решим уравнение: $$ bx^3 = ax^2 $$ Перенесем все слагаемые в одну часть: $$ bx^3 - ax^2 = 0 $$ Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $$ x^2(bx - a) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$; 2) $bx - a = 0$. Исследуем количество решений уравнения в зависимости от заданных коэффициентов $a$ и $b$: - Если $b \neq 0$ и $a \neq 0$, то из второго уравнения получаем $x_2 = \frac{a}{b}$. Так как $a \neq 0$, то $x_2 \neq 0$. Значит, уравнение имеет два различных корня ($x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{a}{b}$), а графики функций имеют **две точки пересечения**. - Если $b \neq 0$, но $a = 0$, то уравнение $bx = 0$ дает $x = 0$, то есть графики имеют **одну точку пересечения** $(0; 0)$. - Если $b = 0$ и $a \neq 0$, то уравнение принимает вид $-ax^2 = 0$, откуда $x = 0$ — графики имеют **одну точку пересечения** $(0; 0)$. - Если $a = 0$ и $b = 0$, то обе функции принимают вид $y = 0$ (совпадают с осью абсцисс), в этом случае графики имеют **бесконечно много точек пересечения**. Таким образом, графики функций могут иметь две точки пересечения, одну точку пересечения или бесконечно много точек пересечения. --- **1) $a = 2$; $b = -2$** Подставим значения коэффициентов в уравнения функций: $y = 2x^2$ и $y = -2x^3$. Приравняем их правые части: $$ -2x^3 = 2x^2 $$ $$ -2x^3 - 2x^2 = 0 $$ Разделим обе части на $-2$: $$ x^3 + x^2 = 0 $$ $$ x^2(x + 1) = 0 $$ Отсюда: $x_1 = 0$ или $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$. Найдем соответствующие ординаты $y$, подставив значения $x$ в формулу $y = 2x^2$: - При $x_1 = 0$: $$ y_1 = 2 \cdot 0^2 = 0 $$ Получаем точку $(0; 0)$. - При $x_2 = -1$: $$ y_2 = 2 \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2 $$ Получаем точку $(-1; 2)$. Координаты точек пересечения: $(0; 0)$ и $(-1; 2)$. --- **2) $a = \frac{1}{2}$; $b = \frac{1}{3}$** Подставим значения коэффициентов в уравнения функций: $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{3}x^3$. Приравняем их правые части: $$ \frac{1}{3}x^3 = \frac{1}{2}x^2 $$ $$ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на 6: $$ 2x^3 - 3x^2 = 0 $$ $$ x^2(2x - 3) = 0 $$ Отсюда: $x_1 = 0$ или $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_2 = 1{,}5$ (или $\frac{3}{2}$). Найдем соответствующие ординаты $y$, подставив значения $x$ в формулу $y = \frac{1}{2}x^2$: - При $x_1 = 0$: $$ y_1 = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0 $$ Получаем точку $(0; 0)$. - При $x_2 = \frac{3}{2}$: $$ y_2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} $$ Получаем точку $\left(\frac{3}{2}; \frac{9}{8}\right)$ (или $(1{,}5; 1{,}125)$). Координаты точек пересечения: $(0; 0)$ и $\left(\frac{3}{2}; \frac{9}{8}\right)$. --- **Ответ:** Графики могут иметь две точки пересечения (при $a \neq 0, b \neq 0$), одну точку пересечения или бесконечно много точек пересечения (при $a = b = 0$). 1) $(0; 0)$, $(-1; 2)$; 2) $(0; 0)$, $\left(\frac{3}{2}; \frac{9}{8}\right)$.