ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков вопросы и практические задания. страница - 19

1. **Формула для умножения степеней с одинаковыми показателями:** $$ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n $$ **Правило:** Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить их основания, а показатель степени оставить прежним (степень произведения равна произведению степеней множителей). 2. **Формула для деления степеней с одинаковыми показателями:** $$ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \quad \text{или} \quad a^n : b^n = (a : b)^n, \quad \text{где } b \neq 0 $$ **Правило:** Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить основание делимого на основание делителя, а показатель степени оставить прежним (степень частного равна частному степеней делимого и делителя). 3. **Доказательство формулы (1):** По определению степени с натуральным показателем: $$ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ множителей}}, \quad b^n = \underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ множителей}} $$ Перемножим данные выражения: $$ a^n \cdot b^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ множителей}}) \cdot (\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ множителей}}) $$ На основании переместительного и сочетательного законов умножения сгруппируем множители попарно: $$ a^n \cdot b^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \dots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ пар}} = (a \cdot b)^n $$ Формула доказана. 4. **Доказательство формулы (2):** Пусть $b \neq 0$. По определению степени с натуральным показателем: $$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ множителей}} $$ По правилу умножения обыкновенных дробей: $$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ множителей}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ множителей}}} = \frac{a^n}{b^n} $$ Следовательно: $$ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n $$ Формула доказана. 5. Степень любого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице: $$ a^0 = 1, \quad \text{где } a \neq 0 $$ 6. Выражение $0^0$ **не имеет смысла** (является неопределённым). --- ### ПЗ (Практическое задание) **Алгоритм нахождения последней цифры степени:** 1. Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры основания. 2. При последовательном увеличении натурального показателя степени последние цифры циклически повторяются с определённым периодом длины $T$. 3. Чтобы узнать последнюю цифру числа в степени $n$, нужно разделить показатель $n$ на длину периода $T$ с остатком: $$ n = T \cdot k + r $$ - Если остаток $r > 0$, то последняя цифра степени совпадает с последней цифрой при показателе $r$. - Если деление выполняется нацело ($r = 0$), то последняя цифра совпадает с последней цифрой при показателе $T$. **Применение алгоритма к заданным случаям:** 1) **Число оканчивается цифрой 3:** Последовательность степеней: $3^1 = 3$ (оканчивается на 3); $3^2 = 9$ (оканчивается на 9); $3^3 = 27$ (оканчивается на 7); $3^4 = 81$ (оканчивается на 1); $3^5 = 243$ (оканчивается на 3) — цикл повторяется. Период $T = 4$. Цикл цифр: $3, 9, 7, 1$. Делим показатель $n$ на 4: - остаток 1 — последняя цифра **3**; - остаток 2 — последняя цифра **9**; - остаток 3 — последняя цифра **7**; - остаток 0 — последняя цифра **1**. 2) **Число оканчивается цифрой 4:** Последовательность степеней: $4^1 = 4$ (оканчивается на 4); $4^2 = 16$ (оканчивается на 6); $4^3 = 64$ (оканчивается на 4) — цикл повторяется. Период $T = 2$. Цикл цифр: $4, 6$. Делим показатель $n$ на 2: - если $n$ нечётное (остаток 1) — последняя цифра **4**; - если $n$ чётное (остаток 0) — последняя цифра **6**. 3) **Число оканчивается цифрой 7:** Последовательность степеней: $7^1 = 7$ (оканчивается на 7); $7^2 = 49$ (оканчивается на 9); $7^3 = 343$ (оканчивается на 3); $7^4 = 2401$ (оканчивается на 1); $7^5 = \dots 7$ — цикл повторяется. Период $T = 4$. Цикл цифр: $7, 9, 3, 1$. Делим показатель $n$ на 4: - остаток 1 — последняя цифра **7**; - остаток 2 — последняя цифра **9**; - остаток 3 — последняя цифра **3**; - остаток 0 — последняя цифра **1**. 4) **Число оканчивается цифрой 8:** Последовательность степеней: $8^1 = 8$ (оканчивается на 8); $8^2 = 64$ (оканчивается на 4); $8^3 = 512$ (оканчивается на 2); $8^4 = 4096$ (оканчивается на 6); $8^5 = \dots 8$ — цикл повторяется. Период $T = 4$. Цикл цифр: $8, 4, 2, 6$. Делим показатель $n$ на 4: - остаток 1 — последняя цифра **8**; - остаток 2 — последняя цифра **4**; - остаток 3 — последняя цифра **2**; - остаток 0 — последняя цифра **6**.