ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков вопросы и практические задания. страница - 168

1. **Дробные выражения** — это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления, которые содержат операцию деления на выражение с переменными (то есть содержат переменную в знаменателе). Например: $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{x^2 - 1}{x + 3}$, $2x + \dfrac{1}{x}$. 2. **Допустимыми значениями переменных** называются такие значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл. Для рациональных дробей допустимыми являются все значения переменных, при которых знаменатель дроби не равен нулю (так как деление на нуль не имеет смысла). 3. **Тождеством** называют равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. **Тождественным преобразованием** выражения называют замену одного выражения другим, тождественно равным ему на множестве всех допустимых значений переменных. 4. **Основное свойство рациональной дроби:** Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной: $$ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}, \quad \text{где } B \neq 0, C \neq 0 $$ **Доказательство:** Пусть значение дроби $\dfrac{A}{B}$ равно некоторому выражению $m$: $$ \frac{A}{B} = m $$ По определению частного это означает, что: $$ A = B \cdot m $$ Умножим обе части равенства на выражение $C$ ($C \neq 0$): $$ A \cdot C = (B \cdot m) \cdot C $$ На основании переместительного и сочетательного свойств умножения запишем: $$ A \cdot C = (B \cdot C) \cdot m $$ Так как $B \neq 0$ и $C \neq 0$, то произведение $B \cdot C \neq 0$. По определению частного отсюда следует, что: $$ \frac{A \cdot C}{B \cdot C} = m $$ Так как левые части обоих равенств равны одному и тому же выражению $m$, получаем: $$ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $$ Основное свойство рациональной дроби доказано. 5. Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби на противоположный, то **знак самой дроби изменится на противоположный**: $$ \frac{-A}{B} = -\frac{A}{B} \quad \text{и} \quad \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B} $$ Если же одновременно изменить знаки и числителя, и знаменателя, то **знак дроби не изменится**: $$ \frac{-A}{-B} = \frac{A}{B} $$