ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 938

**а)** $$ \frac{1}{2} + \frac{53^2 - 27^2}{31^2 - 25} - \frac{53^2 - 27^2}{58^2 - 22^2} $$ 1. Преобразуем числитель обеих дробей по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ 53^2 - 27^2 = (53 - 27)(53 + 27) = 26 \cdot 80 $$ 2. Преобразуем знаменатель первой дроби, представив $25 = 5^2$: $$ 31^2 - 25 = 31^2 - 5^2 = (31 - 5)(31 + 5) = 26 \cdot 36 $$ Тогда первая дробь равна: $$ \frac{53^2 - 27^2}{31^2 - 25} = \frac{26 \cdot 80}{26 \cdot 36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9} $$ 3. Преобразуем знаменатель второй дроби: $$ 58^2 - 22^2 = (58 - 22)(58 + 22) = 36 \cdot 80 $$ Тогда вторая дробь равна: $$ \frac{53^2 - 27^2}{58^2 - 22^2} = \frac{26 \cdot 80}{36 \cdot 80} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18} $$ 4. Выполним действия: $$ \frac{1}{2} + \frac{20}{9} - \frac{13}{18} = \frac{9}{18} + \frac{40}{18} - \frac{13}{18} = \frac{9 + 40 - 13}{18} = \frac{36}{18} = 2 $$ Ответ: $2$. --- **б)** $$ \frac{77^3 - 69^3}{70^2 - 62^2} - \frac{77^3 + 41^3}{125^2 - 49} - \frac{1}{2} $$ 1. Упростим знаменатели обеих дробей по формуле разности квадратов: - для первой дроби: $$ 70^2 - 62^2 = (70 - 62)(70 + 62) = 8 \cdot 132 $$ - для второй дроби, учитывая $49 = 7^2$: $$ 125^2 - 49 = 125^2 - 7^2 = (125 - 7)(125 + 7) = 118 \cdot 132 $$ 2. Разложим числители по формулам разности и суммы кубов: - $77^3 - 69^3 = (77 - 69)(77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2) = 8 \cdot (77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2)$ - $77^3 + 41^3 = (77 + 41)(77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2) = 118 \cdot (77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2)$ 3. Сократим дроби: - первая дробь: $$ \frac{8 \cdot (77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2)}{8 \cdot 132} = \frac{77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2}{132} $$ - вторая дробь: $$ \frac{118 \cdot (77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2)}{118 \cdot 132} = \frac{77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2}{132} $$ 4. Вычтем вторую дробь из первой: $$ \frac{(77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2) - (77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2)}{132} = \frac{77 \cdot 69 + 69^2 + 77 \cdot 41 - 41^2}{132} $$ Сгруппируем слагаемые в числителе: $$ 77 \cdot (69 + 41) + (69^2 - 41^2) = 77 \cdot 110 + (69 - 41)(69 + 41) = 77 \cdot 110 + 28 \cdot 110 $$ $$ = 110 \cdot (77 + 28) = 110 \cdot 105 $$ Тогда разность дробей равна: $$ \frac{110 \cdot 105}{132} = \frac{5 \cdot 105}{6} = \frac{5 \cdot 35}{2} = \frac{175}{2} $$ 5. Вычтем последнее слагаемое: $$ \frac{175}{2} - \frac{1}{2} = \frac{174}{2} = 87 $$ Ответ: $87$. --- **в)** $$ \frac{65^2 - 32^2 - 97 \cdot 11}{61^2 - 36^2} + \frac{56^2 - 26^2}{66^2 - 16^2} $$ 1. Упростим первую дробь: - числитель: $$ 65^2 - 32^2 - 97 \cdot 11 = (65 - 32)(65 + 32) - 97 \cdot 11 = 33 \cdot 97 - 97 \cdot 11 = 97 \cdot (33 - 11) = 97 \cdot 22 $$ - знаменатель: $$ 61^2 - 36^2 = (61 - 36)(61 + 36) = 25 \cdot 97 $$ - значение первой дроби: $$ \frac{97 \cdot 22}{25 \cdot 97} = \frac{22}{25} $$ 2. Упростим вторую дробь: - числитель: $$ 56^2 - 26^2 = (56 - 26)(56 + 26) = 30 \cdot 82 $$ - знаменатель: $$ 66^2 - 16^2 = (66 - 16)(66 + 16) = 50 \cdot 82 $$ - значение второй дроби: $$ \frac{30 \cdot 82}{50 \cdot 82} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = \frac{15}{25} $$ 3. Сложим полученные значения: $$ \frac{22}{25} + \frac{15}{25} = \frac{37}{25} = 1\frac{12}{25} = 1{,}48 $$ Ответ: $1\frac{12}{25}$ (или $1{,}48$). --- **г)** $$ \frac{109^2 + 160 \cdot 32 - 51^2}{139^2 - 11^2} + \frac{42^2 - 36}{84^2 - 12^2} $$ 1. Упростим первую дробь: - в числителе сгруппируем $109^2 - 51^2$: $$ (109^2 - 51^2) + 160 \cdot 32 = (109 - 51)(109 + 51) + 160 \cdot 32 = 58 \cdot 160 + 160 \cdot 32 = 160 \cdot (58 + 32) = 160 \cdot 90 $$ - знаменатель: $$ 139^2 - 11^2 = (139 - 11)(139 + 11) = 128 \cdot 150 $$ - значение первой дроби: $$ \frac{160 \cdot 90}{128 \cdot 150} = \frac{160}{128} \cdot \frac{90}{150} = \frac{5}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{4} $$ 2. Упростим вторую дробь: - числитель (так как $36 = 6^2$): $$ 42^2 - 36 = 42^2 - 6^2 = (42 - 6)(42 + 6) = 36 \cdot 48 $$ - знаменатель: $$ 84^2 - 12^2 = (84 - 12)(84 + 12) = 72 \cdot 96 $$ - значение второй дроби: $$ \frac{36 \cdot 48}{72 \cdot 96} = \frac{36}{72} \cdot \frac{48}{96} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$ 3. Сложим полученные значения: $$ \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 $$ Ответ: $1$.