ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 916

По условию известно, что при любом целом $x$ выражение $x^3 - x$ делится на 6. Воспользуемся свойством делимости: если каждое слагаемое суммы (или уменьшаемое и вычитаемое) делится на некоторое число, то и вся сумма (или разность) делится на это число. 1) Докажем, что выражение $x^3 - 7x$ делится на 6: Выделим в выражении слагаемое $x^3 - x$: $$ x^3 - 7x = (x^3 - x) - 6x $$ Так как $x^3 - x$ делится на 6 по условию, а вычитаемое $6x$ делится на 6 при любом целом $x$ (содержит множитель 6), то их разность также делится на 6. Следовательно, выражение $x^3 - 7x$ делится на 6. 2) Докажем, что выражение $x^3 + 11x$ делится на 6: Представим выражение в виде суммы: $$ x^3 + 11x = (x^3 - x) + 12x = (x^3 - x) + 6 \cdot 2x $$ По условию $x^3 - x$ делится на 6. Слагаемое $6 \cdot 2x$ также делится на 6 при любом целом $x$, поскольку имеет множитель 6, а $2x$ является целым числом. Сумма двух чисел, кратных 6, делится на 6. Следовательно, выражение $x^3 + 11x$ делится на 6. 3) Докажем, что выражение $5x^3 + 13x - 30$ делится на 6: Выделим выражение $5(x^3 - x)$: $$ 5x^3 + 13x - 30 = 5(x^3 - x) + 5x + 13x - 30 = 5(x^3 - x) + 18x - 30 $$ Вынесем общий множитель 6 в оставшейся части: $$ 5(x^3 - x) + 18x - 30 = 5(x^3 - x) + 6(3x - 5) $$ Первое слагаемое $5(x^3 - x)$ делится на 6, так как $x^3 - x$ делится на 6 по условию. Второе слагаемое $6(3x - 5)$ делится на 6 при любом целом $x$, так как делится на множитель 6, а выражение $3x - 5$ принимает целые значения. Сумма двух чисел, кратных 6, делится на 6, а значит, выражение $5x^3 + 13x - 30$ делится на 6. Все требуемые утверждения доказаны.