ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 826

a) Вынесем за скобки общий множитель $3^{19}$ в числителе и представим основание степени в знаменателе как $9 = 3^2$: $$ \frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{9^9} = \frac{3^{19} \cdot (2 \cdot 3^1 - 5)}{(3^2)^9} $$ Вычислим значение в скобках и применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ \frac{3^{19} \cdot (6 - 5)}{3^{18}} = \frac{3^{19} \cdot 1}{3^{18}} = 3^{19 - 18} = 3^1 = 3 $$ Ответ: $3$. b) Разложим выражения в скобках на множители, вынося степени с наименьшим показателем, а также представим $1024$ как степень двойки ($1024 = 2^{10}$): $$ 3^{15} + 3^{14} = 3^{14} \cdot (3 + 1) = 3^{14} \cdot 4 = 3^{14} \cdot 2^2 $$ $$ 3^{14} + 3^{12} = 3^{12} \cdot (3^2 + 1) = 3^{12} \cdot (9 + 1) = 3^{12} \cdot 10 = 3^{12} \cdot 2 \cdot 5 $$ Подставим полученные выражения в исходную дробь: $$ \frac{(3^{15} + 3^{14}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024} = \frac{(3^{14} \cdot 2^2) \cdot 2^9}{(3^{12} \cdot 10) \cdot 2^{10}} = \frac{3^{14} \cdot 2^{2 + 9}}{3^{12} \cdot (2 \cdot 5) \cdot 2^{10}} = \frac{3^{14} \cdot 2^{11}}{3^{12} \cdot 5 \cdot 2^{11}} $$ Сократим дробь на $2^{11}$ и на $3^{12}$: $$ \frac{3^{14 - 12}}{5} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5} = 1{,}8 $$ Ответ: $1{,}8$ (или $1\frac{4}{5}$). c) Вынесем общий множитель $2^{19}$ в первых скобках числителя, разложим число $52$ на множители ($52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$), а в знаменателе приведем степени к основанию $2$ ($8 = 2^3$): $$ 3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19} = 2^{19} \cdot (3 \cdot 2^1 + 7) = 2^{19} \cdot (6 + 7) = 2^{19} \cdot 13 $$ $$ (13 \cdot 8^4)^2 = 13^2 \cdot (8^4)^2 = 13^2 \cdot ((2^3)^4)^2 = 13^2 \cdot (2^{12})^2 = 13^2 \cdot 2^{24} $$ Подставим полученные значения в дробь: $$ \frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2} = \frac{2^{19} \cdot 13 \cdot (2^2 \cdot 13)}{13^2 \cdot 2^{24}} = \frac{13^2 \cdot 2^{19 + 2}}{13^2 \cdot 2^{24}} = \frac{13^2 \cdot 2^{21}}{13^2 \cdot 2^{24}} $$ Сократим дробь на $13^2$ и на $2^{21}$: $$ \frac{1}{2^{24 - 21}} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125 $$ Ответ: $\frac{1}{8}$ (или $0{,}125$). r) Приведем степени к основанию $6$. Для этого разложим коэффициенты в числителе: $180 = 5 \cdot 36 = 5 \cdot 6^2$ и $108 = 3 \cdot 36 = 3 \cdot 6^2$. Преобразуем выражение в скобках числителя: $$ 180 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6 = (5 \cdot 6^2) \cdot 6^7 - (3 \cdot 6^2) \cdot 6^6 = 5 \cdot 6^9 - 3 \cdot 6^8 $$ Вынесем $6^8$ за скобки: $$ 6^8 \cdot (5 \cdot 6^1 - 3) = 6^8 \cdot (30 - 3) = 27 \cdot 6^8 $$ Значит, числитель равен $25 \cdot 27 \cdot 6^8$. Преобразуем знаменатель, выразив числа через степени шестерки ($216 = 6^3$, $36 = 6^2$): $$ 216^3 - 36^4 = (6^3)^3 - (6^2)^4 = 6^9 - 6^8 = 6^8 \cdot (6 - 1) = 5 \cdot 6^8 $$ Подставим преобразованные выражения в дробь: $$ \frac{25 \cdot (180 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6)}{216^3 - 36^4} = \frac{25 \cdot 27 \cdot 6^8}{5 \cdot 6^8} $$ Сократим дробь на $6^8$ и на $5$: $$ \frac{25}{5} \cdot 27 = 5 \cdot 27 = 135 $$ Ответ: $135$.