ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 713

а) Рассмотрим первую систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y + 3 = 0, \\ 2x + y - 4 = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$: $x = y - 3$. Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение: $2(y - 3) + y - 4 = 0$. Запишем получившуюся систему: $$ \begin{cases} x = y - 3, \\ 2(y - 3) + y - 4 = 0 \end{cases} $$ Вторая система получена из первой с помощью равносильного преобразования — подстановки выражения одной переменной в другое уравнение. Значит, множества решений систем совпадают. Ответ: да, равносильны. б) Рассмотрим первую систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x - y + 2 = 0, \\ -x + y - 3 = 0 \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения системы: $(3x - y + 2) + (-x + y - 3) = 0 + 0$, $2x - 1 = 0$. Заменим второе уравнение первой системы на полученное уравнение суммы, оставив первое уравнение без изменений: $$ \begin{cases} 3x - y + 2 = 0, \\ 2x - 1 = 0 \end{cases} $$ Вторая система получена из первой с помощью метода алгебраического сложения, который является равносильным преобразованием. Значит, системы имеют одинаковые решения. Ответ: да, равносильны. в) Рассмотрим первую систему уравнений: $$ \begin{cases} 4x - 2y - 5 = 0, \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$: $x = 2 - y$. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение: $4(2 - y) - 2y - 5 = 0$. Получаем систему: $$ \begin{cases} 4(2 - y) - 2y - 5 = 0, \\ x = 2 - y \end{cases} $$ Она в точности совпадает со второй системой. Поскольку переход выполнен с помощью равносильного преобразования (метода подстановки), эти системы равносильны. Ответ: да, равносильны. г) Найдем решение первой системы уравнений: $$ \begin{cases} x + y + 1 = 0, \\ 3x - 2y - 2 = 0 \end{cases} $$ Выразим $y$ из первого уравнения: $y = -x - 1$. Подставим во второе уравнение: $3x - 2(-x - 1) - 2 = 0$, $3x + 2x + 2 - 2 = 0$, $5x = 0$, $x = 0$. Найдем $y$: $y = -0 - 1 = -1$. Решением первой системы является пара чисел $(0; -1)$. Теперь найдем решение второй системы уравнений: $$ \begin{cases} y = 1 - x, \\ 5x - 4 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения находим $x$: $5x = 4$, $x = \frac{4}{5} = 0{,}8$. Подставим $x$ в первое уравнение и найдем $y$: $y = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$. Решением второй системы является пара чисел $(0{,}8; 0{,}2)$. Так как решения систем не совпадают, данные системы уравнений не являются равносильными. Ответ: нет, не равносильны.