ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 569

Докажем тождества, выполнив действия в левой части каждого равенства. --- ### а) Докажем тождество: $$ \frac{a^2 + b^2}{ab} \cdot \left( \frac{6a + b}{a^2 - b^2} : \frac{6a^3 + b^3 + a^2b + 6ab^2}{2ab^2 - 2a^2b} + \frac{a + b}{a^2 + b^2} \right) = \frac{a^2 + b^2}{ab(a + b)} $$ 1. Разложим на множители числитель и знаменатель делителя: $$ 6a^3 + b^3 + a^2b + 6ab^2 = (6a^3 + 6ab^2) + (a^2b + b^3) = 6a(a^2 + b^2) + b(a^2 + b^2) = (6a + b)(a^2 + b^2) $$ $$ 2ab^2 - 2a^2b = -2ab(a - b) $$ 2. Выполним деление в скобках: $$ \frac{6a + b}{a^2 - b^2} : \frac{(6a + b)(a^2 + b^2)}{-2ab(a - b)} = \frac{6a + b}{(a - b)(a + b)} \cdot \frac{-2ab(a - b)}{(6a + b)(a^2 + b^2)} = -\frac{2ab}{(a + b)(a^2 + b^2)} $$ 3. Выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a + b)(a^2 + b^2)$: $$ -\frac{2ab}{(a + b)(a^2 + b^2)} + \frac{a + b}{a^2 + b^2} = \frac{-2ab + (a + b)^2}{(a + b)(a^2 + b^2)} = \frac{-2ab + a^2 + 2ab + b^2}{(a + b)(a^2 + b^2)} = \frac{a^2 + b^2}{(a + b)(a^2 + b^2)} = \frac{1}{a + b} $$ 4. Выполним умножение: $$ \frac{a^2 + b^2}{ab} \cdot \frac{1}{a + b} = \frac{a^2 + b^2}{ab(a + b)} $$ Тождество доказано. --- ### б) Докажем тождество: $$ \left( \frac{x}{xy + y^2} - \frac{x^2 + y^2}{x^3 - xy^2} + \frac{y}{x^2 - xy} \right) : \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^3 + y^3} = \frac{x^2 - xy + y^2}{y(x - y)} $$ 1. Разложим на множители знаменатели дробей в скобках: * $xy + y^2 = y(x + y)$ * $x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$ * $x^2 - xy = x(x - y)$ Общий знаменатель равен $xy(x - y)(x + y)$. 2. Выполним действия в скобках: $$ \frac{x \cdot x(x - y) - (x^2 + y^2) \cdot y + y \cdot y(x + y)}{xy(x - y)(x + y)} = \frac{x^3 - x^2y - x^2y - y^3 + xy^2 + y^3}{xy(x - y)(x + y)} $$ $$ = \frac{x^3 - 2x^2y + xy^2}{xy(x - y)(x + y)} = \frac{x(x^2 - 2xy + y^2)}{xy(x - y)(x + y)} = \frac{x(x - y)^2}{xy(x - y)(x + y)} = \frac{x - y}{y(x + y)} $$ 3. Разложим на множители числитель и знаменатель делителя: $$ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 $$ $$ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $$ 4. Выполним деление: $$ \frac{x - y}{y(x + y)} : \frac{(x - y)^2}{(x + y)(x^2 - xy + y^2)} = \frac{x - y}{y(x + y)} \cdot \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)^2} = \frac{x^2 - xy + y^2}{y(x - y)} $$ Тождество доказано. --- ### в) Докажем тождество: $$ \left( \frac{2x^2y + 2xy^2}{7x^3 + x^2y + 7xy^2 + y^3} \cdot \frac{7x + y}{x^2 - y^2} + \frac{x - y}{x^2 + y^2} \right) \cdot (x^2 - y^2) = x + y $$ 1. Разложим на множители знаменатель первой дроби способом группировки: $$ 7x^3 + x^2y + 7xy^2 + y^3 = x^2(7x + y) + y^2(7x + y) = (7x + y)(x^2 + y^2) $$ 2. Выполним умножение в скобках: $$ \frac{2xy(x + y)}{(7x + y)(x^2 + y^2)} \cdot \frac{7x + y}{(x - y)(x + y)} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)(x - y)} $$ 3. Выполним сложение в скобках: $$ \frac{2xy}{(x^2 + y^2)(x - y)} + \frac{x - y}{x^2 + y^2} = \frac{2xy + (x - y)^2}{(x^2 + y^2)(x - y)} = \frac{2xy + x^2 - 2xy + y^2}{(x^2 + y^2)(x - y)} $$ $$ = \frac{x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)(x - y)} = \frac{1}{x - y} $$ 4. Выполним умножение на выражение за скобками: $$ \frac{1}{x - y} \cdot (x^2 - y^2) = \frac{(x - y)(x + y)}{x - y} = x + y $$ Тождество доказано. --- ### г) Докажем тождество: $$ \left( \frac{5}{a^2 - 2a - ax + 2x} - \frac{1}{8 - 8a + 2a^2} \cdot \frac{20 - 10a}{x - 2} \right) : \frac{25}{x^3 - 8} = \frac{x^2 + 2x + 4}{5(a - x)} $$ 1. Преобразуем знаменатель первой дроби: $$ a^2 - 2a - ax + 2x = a(a - 2) - x(a - 2) = (a - 2)(a - x) $$ 2. Выполним умножение во второй части скобок: $$ 8 - 8a + 2a^2 = 2(a^2 - 4a + 4) = 2(a - 2)^2 $$ $$ 20 - 10a = -10(a - 2) $$ $$ \frac{1}{2(a - 2)^2} \cdot \frac{-10(a - 2)}{x - 2} = \frac{-5}{(a - 2)(x - 2)} $$ 3. Выполним вычитание в скобках: $$ \frac{5}{(a - 2)(a - x)} - \left( \frac{-5}{(a - 2)(x - 2)} \right) = \frac{5}{(a - 2)(a - x)} + \frac{5}{(a - 2)(x - 2)} $$ $$ = \frac{5}{a - 2} \left( \frac{1}{a - x} + \frac{1}{x - 2} \right) = \frac{5}{a - 2} \cdot \frac{x - 2 + a - x}{(a - x)(x - 2)} = \frac{5}{a - 2} \cdot \frac{a - 2}{(a - x)(x - 2)} = \frac{5}{(a - x)(x - 2)} $$ 4. Выполним деление, разложив разность кубов $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$: $$ \frac{5}{(a - x)(x - 2)} : \frac{25}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{5}{(a - x)(x - 2)} \cdot \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{25} = \frac{x^2 + 2x + 4}{5(a - x)} $$ Тождество доказано. --- ### д) Докажем тождество: $$ \left( \frac{3a}{9 - 3x - 3a + ax} - \frac{1}{a^2 - 9} : \frac{x - a}{3a^2 + 9a} \right) \cdot \frac{x^3 - 27}{3a} = \frac{x^2 + 3x + 9}{a - x} $$ 1. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $$ 9 - 3x - 3a + ax = 3(3 - x) - a(3 - x) = (3 - a)(3 - x) = (a - 3)(x - 3) $$ 2. Выполним деление в скобках: $$ \frac{1}{a^2 - 9} : \frac{x - a}{3a^2 + 9a} = \frac{1}{(a - 3)(a + 3)} \cdot \frac{3a(a + 3)}{x - a} = \frac{3a}{(a - 3)(x - a)} $$ 3. Выполним вычитание в скобках: $$ \frac{3a}{(a - 3)(x - 3)} - \frac{3a}{(a - 3)(x - a)} = \frac{3a}{a - 3} \left( \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - a} \right) $$ $$ = \frac{3a}{a - 3} \cdot \frac{(x - a) - (x - 3)}{(x - 3)(x - a)} = \frac{3a}{a - 3} \cdot \frac{3 - a}{(x - 3)(x - a)} = \frac{-3a}{(x - 3)(x - a)} = \frac{3a}{(x - 3)(a - x)} $$ 4. Выполним умножение, разложив $x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$: $$ \frac{3a}{(x - 3)(a - x)} \cdot \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{3a} = \frac{x^2 + 3x + 9}{a - x} $$ Тождество доказано.