ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 568

**а)** Докажем тождество: $$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} + \frac{1}{(a-c)(b-a)} = 0 $$ Преобразуем знаменатель третьей дроби, вынеся знаки «минус» из обоих сомножителей: $$ (a-c)(b-a) = (-(c-a)) \cdot (-(a-b)) = (c-a)(a-b) $$ Перепишем левую часть равенства: $$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} $$ Приведём дроби к общему знаменателю $(a-b)(b-c)(c-a)$: $$ \frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)} = $$ $$ = \frac{(c-a) + (a-b) + (b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{c - a + a - b + b - c}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0 $$ Получили $0 = 0$, тождество доказано. --- **б)** Докажем тождество: $$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-a)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} = 0 $$ Преобразуем знаменатели второй и третьей дробей, чтобы привести их к множителям $(a-b)$, $(a-c)$ и $(b-c)$: $$ (b-a)(b-c) = -(a-b)(b-c) $$ $$ (c-a)(c-b) = (-(a-c)) \cdot (-(b-c)) = (a-c)(b-c) $$ Перепишем левую часть равенства с учётом знаков: $$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)} $$ Приведём дроби к общему знаменателю $(a-b)(a-c)(b-c)$: $$ \frac{b-c}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{a-c}{(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)} = $$ $$ = \frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{b - c - a + c + a - b}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 0 $$ Получили $0 = 0$, тождество доказано. --- **в)** Докажем тождество: $$ \frac{a^4 - b^4}{((a+b)^2 - 4ab)((a-b)^2 + 4ab)((a+b)^2 - 2ab)} = \frac{1}{a^2 - b^2} $$ Упростим каждое выражение в скобках в знаменателе левой части: 1) $(a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$; 2) $(a-b)^2 + 4ab = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$; 3) $(a+b)^2 - 2ab = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2$. Разложим числитель левой части по формуле разности квадратов: $$ a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) $$ Подставим полученные выражения в левую часть тождества: $$ \frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{(a-b)^2(a+b)^2(a^2 + b^2)} $$ Заметим, что $(a-b)^2(a+b)^2 = ((a-b)(a+b))^2 = (a^2 - b^2)^2$. Получаем: $$ \frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{(a^2 - b^2)^2(a^2 + b^2)} $$ Сократим дробь на $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$: $$ \frac{1}{a^2 - b^2} $$ Получили $\frac{1}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a^2 - b^2}$, тождество доказано.