ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 532

По условию дробь $\frac{p}{q}$ несократима. Это означает, что числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель равен единице: $\text{НОД}(p, q) = 1$. **а)** $\frac{q}{p}$ Так как наибольший общий делитель чисел не зависит от порядка их записи: $$\text{НОД}(q, p) = \text{НОД}(p, q) = 1$$ Числа $q$ и $p$ взаимно простые, поэтому дробь $\frac{q}{p}$ будет несократимой. **Ответ:** да, будет. --- **б)** $\frac{p + q}{q}$ Предположим, что числа $p + q$ и $q$ имеют общий делитель $d > 1$. Тогда $p + q$ делится на $d$ и $q$ делится на $d$. Следовательно, их разность $(p + q) - q = p$ также должна делиться на $d$. Получается, что $d$ является общим делителем чисел $p$ и $q$. Однако по условию $\text{НОД}(p, q) = 1$, значит, такого делителя $d > 1$ не существует. Таким образом, $\text{НОД}(p + q, q) = 1$, и дробь $\frac{p + q}{q}$ будет несократимой. **Ответ:** да, будет. --- **в)** $\frac{q}{p + q}$ Аналогично пункту **б**, пусть $d$ — общий делитель числителя $q$ и знаменателя $p + q$. Тогда на $d$ делится и знаменатель, и числитель, а значит, и их разность: $$(p + q) - q = p$$ Следовательно, $d$ — общий делитель чисел $p$ и $q$. Так как $\text{НОД}(p, q) = 1$, то единственный общий делитель равен $1$. Значит, $\text{НОД}(q, p + q) = 1$, и дробь $\frac{q}{p + q}$ будет несократимой. **Ответ:** да, будет. --- **г)** $\frac{p}{p + q}$ Пусть $d$ — общий делитель чисел $p$ и $p + q$. Тогда на $d$ делится число $p$ и сумма $p + q$. Значит, на $d$ делится и разность: $$(p + q) - p = q$$ Получаем, что $d$ делит одновременно и $p$, и $q$. Но дробь $\frac{p}{q}$ несократима, поэтому $\text{НОД}(p, q) = 1$, откуда $d = 1$. Значит, $\text{НОД}(p, p + q) = 1$, и дробь $\frac{p}{p + q}$ будет несократимой. **Ответ:** да, будет.