ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 515

а) Приведем дроби к общему знаменателю $a(a+b)$: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{a+b} = \frac{1 \cdot (a+b) + 1 \cdot a}{a(a+b)} = \frac{a+b+a}{a(a+b)} = \frac{2a+b}{a(a+b)} $$ б) Общий знаменатель равен $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$: $$ \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} = \frac{1 \cdot (a-b) + 1 \cdot (a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b+a+b}{a^2-b^2} = \frac{2a}{a^2-b^2} $$ в) Приведем дроби к общему знаменателю $n(m+n)$: $$ \frac{1}{m+n} - \frac{1}{n} = \frac{1 \cdot n - 1 \cdot (m+n)}{n(m+n)} = \frac{n-m-n}{n(m+n)} = \frac{-m}{n(m+n)} = -\frac{m}{n(m+n)} $$ г) Общий знаменатель равен $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$: $$ \frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y} = \frac{1 \cdot (x+y) - 1 \cdot (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y-x+y}{x^2-y^2} = \frac{2y}{x^2-y^2} $$ д) Общий знаменатель равен $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$: $$ \frac{2}{a-b} + \frac{3}{a+b} = \frac{2(a+b) + 3(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a+2b+3a-3b}{a^2-b^2} = \frac{5a-b}{a^2-b^2} $$ е) Общий знаменатель равен $(p-q)(p+q) = p^2-q^2$: $$ \frac{4}{p-q} - \frac{3}{p+q} = \frac{4(p+q) - 3(p-q)}{(p-q)(p+q)} = \frac{4p+4q-3p+3q}{p^2-q^2} = \frac{p+7q}{p^2-q^2} $$ ж) Приведем дроби к общему знаменателю $(a-2b)(a+b)$: $$ \frac{2a}{a-2b} + \frac{3a}{a+b} = \frac{2a(a+b) + 3a(a-2b)}{(a-2b)(a+b)} = \frac{2a^2+2ab+3a^2-6ab}{(a-2b)(a+b)} = \frac{5a^2-4ab}{(a-2b)(a+b)} = \frac{a(5a-4b)}{(a-2b)(a+b)} $$ з) Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)(2x-y)$: $$ \frac{3x}{x-y} - \frac{2x}{2x-y} = \frac{3x(2x-y) - 2x(x-y)}{(x-y)(2x-y)} = \frac{6x^2-3xy-2x^2+2xy}{(x-y)(2x-y)} = \frac{4x^2-xy}{(x-y)(2x-y)} = \frac{x(4x-y)}{(x-y)(2x-y)} $$ и) Приведем дроби к общему знаменателю $(2m-n)(n-m)$: $$ \frac{5m}{2m-n} - \frac{3m}{n-m} = \frac{5m(n-m) - 3m(2m-n)}{(2m-n)(n-m)} = \frac{5mn-5m^2-6m^2+3mn}{(2m-n)(n-m)} = \frac{-11m^2+8mn}{(2m-n)(n-m)} $$ Поменяем знаки в числителе и во втором множителе знаменателя: $$ \frac{-(11m^2-8mn)}{-(2m-n)(m-n)} = \frac{11m^2-8mn}{(2m-n)(m-n)} = \frac{m(11m-8n)}{(2m-n)(m-n)} $$ к) Заметим, что $2p+q = q+2p$, а общий знаменатель равен $(q-2p)(q+2p) = q^2-4p^2$: $$ \frac{4p}{q-2p} - \frac{2p}{2p+q} = \frac{4p(q+2p) - 2p(q-2p)}{(q-2p)(q+2p)} = \frac{4pq+8p^2-2pq+4p^2}{q^2-4p^2} = \frac{12p^2+2pq}{q^2-4p^2} = \frac{2p(6p+q)}{q^2-4p^2} $$ л) Знаменатели дробей противоположны: $y-2x = -(2x-y)$. Изменим знак перед второй дробью: $$ \frac{7}{2x-y} - \frac{5}{y-2x} = \frac{7}{2x-y} + \frac{5}{2x-y} = \frac{7+5}{2x-y} = \frac{12}{2x-y} $$ м) Знаменатели дробей противоположны: $3y-x = -(x-3y)$. Изменим знак перед второй дробью: $$ \frac{5x}{x-3y} + \frac{4x+3y}{3y-x} = \frac{5x}{x-3y} - \frac{4x+3y}{x-3y} = \frac{5x-(4x+3y)}{x-3y} = \frac{5x-4x-3y}{x-3y} = \frac{x-3y}{x-3y} = 1 $$