ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 427

Для решения воспользуемся формулой куба разности: $$ (u - v)^3 = u^3 - 3u^2v + 3uv^2 - v^3 $$ а) Рассмотрим многочлен $1 - 3x + 3x^2 - x^3$. Представим его крайние члены в виде кубов: * $1 = 1^3$; * $x^3 = x^3$. Проверим, соответствуют ли средние члены утроенным произведениям для $u = 1$ и $v = x$: * $-3u^2v = -3 \cdot 1^2 \cdot x = -3x$; * $3uv^2 = 3 \cdot 1 \cdot x^2 = 3x^2$. Все слагаемые совпадают с исходным выражением: $$ 1 - 3x + 3x^2 - x^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot x + 3 \cdot 1 \cdot x^2 - x^3 = (1 - x)^3 $$ Многочлен является кубом двучлена $1 - x$. б) Рассмотрим многочлен $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$. Представим первый и последний члены в виде кубов: * $a^3 = a^3$; * $8 = 2^3$. Проверим средние члены формулы для $u = a$ и $v = 2$: * $-3u^2v = -3 \cdot a^2 \cdot 2 = -6a^2$; * $3uv^2 = 3 \cdot a \cdot 2^2 = 3 \cdot a \cdot 4 = 12a$. Все слагаемые совпадают с исходным выражением: $$ a^3 - 6a^2 + 12a - 8 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 - 2^3 = (a - 2)^3 $$ Многочлен является кубом двучлена $a - 2$. в) Рассмотрим многочлен $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$. Представим первый и последний члены в виде кубов: * $8a^3 = (2a)^3$; * $27b^3 = (3b)^3$. Проверим средние члены формулы для $u = 2a$ и $v = 3b$: * $-3u^2v = -3 \cdot (2a)^2 \cdot (3b) = -3 \cdot 4a^2 \cdot 3b = -36a^2b$; * $3uv^2 = 3 \cdot (2a) \cdot (3b)^2 = 3 \cdot 2a \cdot 9b^2 = 54ab^2$. Все слагаемые совпадают с исходным выражением: $$ 8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3 = (2a)^3 - 3 \cdot (2a)^2 \cdot (3b) + 3 \cdot (2a) \cdot (3b)^2 - (3b)^3 = (2a - 3b)^3 $$ Многочлен является кубом двучлена $2a - 3b$. Ответ: а) да, является кубом двучлена $1 - x$; б) да, является кубом двучлена $a - 2$; в) да, является кубом двучлена $2a - 3b$.