ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 1101

Пусть $S$ км — расстояние между двумя горными селениями. По условию половина дороги проходит по ровной местности, то есть длина ровного участка составляет: $$ S_{\text{ровн}} = \frac{S}{2}\text{ км} $$ Оставшаяся половина пути приходится на горные участки (в гору и под гору). Пусть при движении в одну сторону протяжённость подъёмов составляет $S_1$ км, а протяжённость спусков — $S_2$ км. Тогда: $$ S_1 + S_2 = \frac{S}{2} $$ 1. **Время движения по ровной местности:** При движении туда и обратно автобус проезжает ровный участок дважды (каждый раз протяжённостью $\frac{S}{2}$ км со скоростью $50$ км/ч): $$ t_{\text{ровн}} = \frac{\frac{S}{2}}{50} + \frac{\frac{S}{2}}{50} = \frac{S}{100} + \frac{S}{100} = \frac{2S}{100} = \frac{S}{50}\text{ (ч)} $$ 2. **Время движения по горным участкам:** При движении в одну сторону автобус преодолевает подъём длиной $S_1$ со скоростью $30$ км/ч и спуск длиной $S_2$ со скоростью $60$ км/ч: $$ t_1 = \frac{S_1}{30} + \frac{S_2}{60} $$ На обратном пути участки меняются: прежний подъём $S_1$ становится спуском (скорость $60$ км/ч), а спуск $S_2$ — подъёмом (скорость $30$ км/ч): $$ t_2 = \frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{30} $$ Сложим время движения по горным участкам туда и обратно: $$ t_{\text{горы}} = t_1 + t_2 = \left(\frac{S_1}{30} + \frac{S_1}{60}\right) + \left(\frac{S_2}{60} + \frac{S_2}{30}\right) $$ Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $60$: $$ t_{\text{горы}} = \left(\frac{2S_1 + S_1}{60}\right) + \left(\frac{S_2 + 2S_2}{60}\right) = \frac{3S_1}{60} + \frac{3S_2}{60} = \frac{S_1}{20} + \frac{S_2}{20} = \frac{S_1 + S_2}{20} $$ Так как $S_1 + S_2 = \frac{S}{2}$, получаем: $$ t_{\text{горы}} = \frac{\frac{S}{2}}{20} = \frac{S}{40}\text{ (ч)} $$ 3. **Составление и решение уравнения:** Общее время на весь путь туда и обратно равно: $$ t = t_{\text{ровн}} + t_{\text{горы}} = \frac{S}{50} + \frac{S}{40} $$ Переведём время поездки в часы: $$ 2\text{ ч } 15\text{ мин} = 2\frac{15}{60}\text{ ч} = 2\frac{1}{4}\text{ ч} = \frac{9}{4}\text{ ч} $$ Составим уравнение: $$ \frac{S}{50} + \frac{S}{40} = \frac{9}{4} $$ Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $200$: $$ 200 \cdot \frac{S}{50} + 200 \cdot \frac{S}{40} = 200 \cdot \frac{9}{4} $$ $$ 4S + 5S = 50 \cdot 9 $$ $$ 9S = 450 $$ $$ S = 50 $$ Значит, расстояние между горными селениями равно $50$ км. Ответ: $50$ км.