ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 683

Для разложения выражений на множители применим формулы сокращённого умножения: - разность кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$; - сумма кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$. 1) $(a + 6)^3 - 27$ Представим число $27$ в виде куба: $27 = 3^3$. Используем формулу разности кубов при $A = a + 6$ и $B = 3$: $$ (a + 6)^3 - 3^3 = ((a + 6) - 3)\bigl((a + 6)^2 + (a + 6) \cdot 3 + 3^2\bigr) $$ Раскроем скобки во второй части и приведём подобные слагаемые: $$ = (a + 3)(a^2 + 12a + 36 + 3a + 18 + 9) = (a + 3)(a^2 + 15a + 63) $$ 2) $(2x - 1)^3 + 64$ Представим $64$ как $4^3$ и применив формулу суммы кубов при $A = 2x - 1$ и $B = 4$: $$ (2x - 1)^3 + 4^3 = ((2x - 1) + 4)\bigl((2x - 1)^2 - (2x - 1) \cdot 4 + 4^2\bigr) $$ $$ = (2x + 3)(4x^2 - 4x + 1 - 8x + 4 + 16) = (2x + 3)(4x^2 - 12x + 21) $$ 3) $8a^6 - (4a - 3)^3$ Запишем $8a^6$ как $(2a^2)^3$ и применим формулу разности кубов: $$ (2a^2)^3 - (4a - 3)^3 = (2a^2 - (4a - 3))\bigl((2a^2)^2 + 2a^2(4a - 3) + (4a - 3)^2\bigr) $$ Раскроем скобки: $$ = (2a^2 - 4a + 3)(4a^4 + 8a^3 - 6a^2 + 16a^2 - 24a + 9) $$ Приведём подобные слагаемые во второй скобке: $$ = (2a^2 - 4a + 3)(4a^4 + 8a^3 + 10a^2 - 24a + 9) $$ 4) $1000 + (y - 10)^3$ Представим $1000$ как $10^3$ и применим формулу суммы кубов: $$ 10^3 + (y - 10)^3 = (10 + (y - 10))\bigl(10^2 - 10(y - 10) + (y - 10)^2\bigr) $$ $$ = (10 + y - 10)(100 - 10y + 100 + y^2 - 20y + 100) $$ $$ = y(y^2 - 30y + 300) $$ 5) $(x + y)^3 - (x - y)^3$ Используем формулу разности кубов при $A = x + y$ и $B = x - y$: $$ ((x + y) - (x - y))\bigl((x + y)^2 + (x + y)(x - y) + (x - y)^2\bigr) $$ Раскроем скобки внутри каждого множителя: $$ = (x + y - x + y)(x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - y^2 + x^2 - 2xy + y^2) $$ Приведём подобные слагаемые: $$ = 2y(3x^2 + y^2) $$ 6) $(a - 2)^3 + (a + 2)^3$ Используем формулу суммы кубов при $A = a - 2$ и $B = a + 2$: $$ ((a - 2) + (a + 2))\bigl((a - 2)^2 - (a - 2)(a + 2) + (a + 2)^2\bigr) $$ Раскроем скобки: $$ = (a - 2 + a + 2)\bigl(a^2 - 4a + 4 - (a^2 - 4) + a^2 + 4a + 4\bigr) $$ $$ = 2a(a^2 - 4a + 4 - a^2 + 4 + a^2 + 4a + 4) $$ Приведём подобные слагаемые: $$ = 2a(a^2 + 12) $$