ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1651

1. Докажем, что уравнение $x^2 - y^2 = 12$ имеет решение в целых числах. Чтобы доказать наличие решений, достаточно указать хотя бы одну пару целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющую уравнению. Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - y)(x + y) = 12 $$ Представим число $12$ в виде произведения двух множителей одинаковой чётности, например, $2 \cdot 6 = 12$. Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 6 \end{cases} $$ Сложим уравнения системы: $$ 2x = 8 \implies x = 4 $$ Подставим найденное значение $x = 4$ во второе уравнение: $$ 4 + y = 6 \implies y = 2 $$ Проверим найденные значения: $$ 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 $$ Числа $x = 4$ и $y = 2$ являются целыми и обращают уравнение в верное равенство. Следовательно, уравнение $x^2 - y^2 = 12$ имеет решение в целых числах (например, пара $(4; 2)$). --- 2. Докажем, что уравнение $x^2 - y^2 = 18$ не имеет решений в целых числах. Разложим левую часть уравнения на множители: $$ (x - y)(x + y) = 18 $$ Оценим чётность множителей $(x - y)$ и $(x + y)$. Их сумма равна: $$ (x - y) + (x + y) = 2x $$ Так как $2x$ делится на $2$, сумма множителей является чётным числом. Сумма двух целых чисел чётна тогда и только тогда, когда оба слагаемых имеют одинаковую чётность. Значит, числа $(x - y)$ и $(x + y)$ либо оба чётные, либо оба нечётные. Рассмотрим два возможных случая: - Если оба множителя нечётные, то их произведение $(x - y)(x + y)$ также является нечётным числом. Однако правая часть уравнения равна $18$ — чётному числу. Противоречие. - Если оба множителя чётные, то каждый из них делится на $2$. Следовательно, их произведение должно делиться на: $$ 2 \cdot 2 = 4 $$ Однако число $18$ не делится нацело на $4$ ($18 = 4 \cdot 4 + 2$). Противоречие. Таким образом, произведение $(x - y)(x + y)$ при целых $x$ и $y$ не может быть равно $18$. Следовательно, уравнение $x^2 - y^2 = 18$ не имеет решений в целых числах.