ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1639

Разложим выражение $a^4 - 1$ на множители, применив формулу разности квадратов: $$ a^4 - 1 = (a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) $$ Так как целое число $a$ не делится на 5, то при делении на 5 оно может давать остаток 1, 2, 3 или 4. Значит, число $a$ можно представить в одном из следующих видов (где $k$ — целое число): 1. $a = 5k + 1$. Тогда первый множитель: $$ a - 1 = (5k + 1) - 1 = 5k $$ делится на 5. 2. $a = 5k + 4$. Тогда второй множитель: $$ a + 1 = (5k + 4) + 1 = 5k + 5 = 5(k + 1) $$ делится на 5. 3. $a = 5k + 2$. Тогда третий множитель: $$ a^2 + 1 = (5k + 2)^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 4 + 1 = 25k^2 + 20k + 5 = 5(5k^2 + 4k + 1) $$ делится на 5. 4. $a = 5k + 3$. Тогда третий множитель: $$ a^2 + 1 = (5k + 3)^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 9 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 = 5(5k^2 + 6k + 2) $$ делится на 5. Таким образом, при любом значении $a$, не кратном 5, хотя бы один из множителей произведения $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)$ делится на 5. Следовательно, само произведение $a^4 - 1$ делится на 5, что и требовалось доказать.