ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1642

Преобразуем данное выражение, вынеся общий множитель 5 за скобки: $$ 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2) $$ Из полученной записи видно, что значение выражения делится на простое число 5. Если натуральное число является квадратом некоторого натурального числа и делится на простое число 5, то оно обязано делиться и на $5^2 = 25$, так как в каноническое разложение полного квадрата на простые множители каждое простое число входит в чётной степени. Для того чтобы произведение $5(n^2 + 2)$ делилось на 25, второй множитель $(n^2 + 2)$ должен делиться на 5. Рассмотрим возможные остатки от деления натурального числа $n$ на 5: 1. Если $n = 5k$ (делится на 5 без остатка), то: $$ n^2 = (5k)^2 = 25k^2 = 5 \cdot 5k^2 $$ В этом случае $n^2$ делится на 5 с остатком 0, а $n^2 + 2$ при делении на 5 даёт остаток 2. 2. Если $n = 5k \pm 1$ (даёт остаток 1 или 4), то: $$ n^2 = (5k \pm 1)^2 = 25k^2 \pm 10k + 1 = 5(5k^2 \pm 2k) + 1 $$ В этом случае $n^2$ даёт остаток 1 при делении на 5, а $n^2 + 2$ даёт остаток $1 + 2 = 3$. 3. Если $n = 5k \pm 2$ (даёт остаток 2 или 3), то: $$ n^2 = (5k \pm 2)^2 = 25k^2 \pm 20k + 4 = 5(5k^2 \pm 4k) + 4 $$ В этом случае $n^2$ даёт остаток 4 при делении на 5, а $n^2 + 2$ даёт остаток $4 + 2 = 6 = 5 \cdot 1 + 1$ (остаток 1). Таким образом, при любом натуральном $n$ число $n^2 + 2$ при делении на 5 может давать только остатки 1, 2 или 3, то есть никогда не делится на 5 нацело. Следовательно, число $5(n^2 + 2)$ делится на 5, но не делится на 25 (простой множитель 5 входит в его разложение в нечётной степени — в первой). Значит, значение выражения $5n^2 + 10$ ни при каком натуральном $n$ не может быть квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.