ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1617

Двузначное число $\overline{ab}$ можно представить в виде: $$ \overline{ab} = 10a + b $$ где $a$ и $b$ — цифры, причём $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$, $b \in \{1, 2, \dots, 9\}$ (так как на $b$ делят, $b \neq 0$). По условию при делении числа $\overline{ab}$ на $b$ получается частное $b$ и остаток $a$. По формуле деления с остатком: $$ 10a + b = b \cdot b + a $$ При этом остаток должен быть строго меньше делителя: $$ a < b $$ Преобразуем уравнение: $$ 10a - a = b^2 - b $$ $$ 9a = b(b - 1) $$ Отсюда выразим $a$: $$ a = \frac{b(b - 1)}{9} $$ Так как $a$ — натуральное число, произведение $b(b - 1)$ должно делиться нацело на $9$. Числа $b$ и $b - 1$ являются последовательными целыми числами, поэтому они взаимно просты ($\text{НОД}(b, b - 1) = 1$). Значит, множитель $9$ может целиком входить либо в $b$, либо в $(b - 1)$. Рассмотрим возможные случаи для цифры $b \in \{1, 2, \dots, 9\}$: 1. Число $b$ делится на $9$: Так как $b$ — цифра и $b \neq 0$, то $b = 9$. Тогда: $$ a = \frac{9 \cdot (9 - 1)}{9} = 8 $$ Проверим условие на остаток: $a < b \implies 8 < 9$ — условие выполняется. Получаем число $\overline{ab} = 89$. 2. Число $b - 1$ делится на $9$: Так как $b \le 9$, это возможно только при: - $b - 1 = 0 \implies b = 1$, тогда $a = \frac{1 \cdot 0}{9} = 0$, что невозможно, так как первая цифра двузначного числа не может быть нулём ($a \ge 1$); - $b - 1 = 9 \implies b = 10$, что невозможно, так как $b$ — цифра ($b \le 9$). Следовательно, единственным решением является $a = 8$, $b = 9$. Проверка: $89 : 9 = 9$ (остаток $8$), что полностью соответствует условию задачи. Ответ: 89