ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1619

Обозначим данное число, состоящее из 81 единицы, через $A$: $$ A = \underbrace{111\ldots1}_{81\text{ цифра}} $$ Разобьём запись числа $A$ на группы по 9 единиц в каждой. Так как $81 : 9 = 9$, всего получится 9 таких групп. Пусть $B$ — число, состоящее из 9 единиц: $$ B = \underbrace{111\ldots1}_{9\text{ цифр}} $$ Представим число $A$ в виде суммы разрядных слагаемых, сгруппированных по 9 знаков: $$ A = B \cdot 10^{72} + B \cdot 10^{63} + B \cdot 10^{54} + \ldots + B \cdot 10^9 + B $$ Вынесем общий множитель $B$ за скобки: $$ A = B \cdot (10^{72} + 10^{63} + 10^{54} + \ldots + 10^9 + 1) $$ Обозначим выражение в скобках через $C$: $$ C = 10^{72} + 10^{63} + 10^{54} + \ldots + 10^9 + 1 $$ В десятичной записи число $C$ состоит из 9 единиц, между которыми расположены группы из восьми нулей: $$ C = 1\underbrace{00\ldots0}_{8}1\underbrace{00\ldots0}_{8}1\ldots1\underbrace{00\ldots0}_{8}1 $$ Используем признак делимости на 9 (число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9): 1. Сумма цифр числа $B$ равна $9 \cdot 1 = 9$. Так как 9 делится на 9, число $B$ кратно 9. 2. Сумма цифр числа $C$ также равна $9 \cdot 1 + 0 = 9$. Так как 9 делится на 9, число $C$ кратно 9. Так как число $B$ кратно 9 (то есть $B = 9k$, где $k \in \mathbb{N}$) и число $C$ кратно 9 (то есть $C = 9m$, где $m \in \mathbb{N}$), то их произведение равно: $$ A = B \cdot C = (9k) \cdot (9m) = 81km $$ Следовательно, число $A$ делится на 81 без остатка, то есть кратно 81. Что и требовалось доказать.